【文章內容簡介】 b，則當 ? ?2,2??x 時， )2,)2(,)2(m a x()( m a x ?????? ??? abfffxf 又? ? 724 11214 )1()1(202242 2 ?????????????????????? ? ffabfbabcabcabf， ∴ 此時問題獲證。 綜上可知：當 ? ? ?2 2x 時，有 ? ? ?7 7f x( ) 。 點評： 研究 )(xf 的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知條件來表達參數(shù) cba , . 確定三個參數(shù)，只需三個獨立條件，本題可以考慮 )1(f ，)1(?f ， )0(f ，這樣做的好處有兩個：一是 cba , 的表達較為簡潔，二是由于 01和? 正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。 要考慮 ??xf 在區(qū)間 ? ?7,7? 上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮第 13 頁 共 30 頁 ??xf 在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。 題型 7：二次函數(shù)的圖像與性質 例 13．（ 1996 上海，文、理 8）在下列圖象中，二次函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù) y=（ ab ）x的圖 象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出 0ab y=a（ x+ ab2 ） 2－224ab ，其頂點坐標為（－ ab2 ，－ ab42 ），又由 0ab 1，可得－ 21 － ab2 ，可選A。 解析二：求 y=ax2+bx 與 x 軸的交點，令 ax2+bx=0，解得 x=0或 x=－ ab ，而－ 1－ ab 0.故選 A。 點評：本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。 例 14． （ 20xx 全國高考題）設 a∈ R，函數(shù) f(x)=x2+|x－ a|+1,x∈ R. （ 1）討論 f(x)的奇偶性 （ 2）求 f(x)的最小值 . 解：（ 1）顯然 a=0 時， f(x)為偶函數(shù)， 當 a≠ 0 時， f(a)=a2+1, f(－ a)=a2+2|a|+1 f(a)≠ f(－ a), f(a)+f(－ a)≠ 0 ∴ 此時 f(x)為非奇非偶函數(shù) . （ 2）首先應先去掉絕對值，再進行討論 . ①當 x≤ a 時， 43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf . 第 14 頁 共 30 頁 若21?a,則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上單調遞減， ∴ f(x)的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 (I)) 若21?a，則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上的最小 值為 af ??43)21(（如圖 II). ②當 x≥ a 時，43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf， 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 af ???43)21(（如圖 III）。 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上單調遞增。 則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 IV)。 綜上，當21??a時， f(x)最小值為 a?43。 當2121 ??? a時， f(x)最小值為 a2+1。 當21?a時， f(x)最小值為43?a。 點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質的綜合應用，考察了分類討論的思想。 題型 8：二次函數(shù)的綜合問題 例 15．（ 20xx 浙江文 20 ） 已知函數(shù) ??fx 和 ??gx 的圖象關于原點對稱，且? ? 2 2f x x x??。 第 15 頁 共 30 頁 (Ⅰ )求函數(shù) ??gx的解析式； (Ⅱ )解不等式 ? ? ? ? 1g x f x x? ? ?； (Ⅲ )若 ? ? ? ? ? ? 1h x g x f x?? ? ?在 ? ?1,1? 上是增函數(shù)，求實數(shù) ? 的取值范圍。 解析： (Ⅰ )設函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上任意一點 ? ?00,Q x y關于原點的對稱點為? ?,Pxy ，則00000, ,2.0,2xxxxy y y y?? ????????? ? ??? ???即 ∵點 ? ?00,Q x y 在函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上 ∴ ? ?2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 故 (Ⅱ )由 ? ? ? ? 21 2 1 0g x f x x x x? ? ? ? ? ?， 可 得 當 1x? 時， 22 1 0xx? ? ? ，此時不等式無解。 當 1x? 時， 22 1 0xx? ? ? ，解得 112x? ? ?。 因此，原不等式的解集為 11,2???????。 （Ⅲ） ? ? ? ? ? ?21 2 1 1h x x x??? ? ? ? ? ? ① ? ? ? ?1 4 1 1 ,1h x x? ? ? ? ? ?當 時 ， 在 上 是 增 函 數(shù) ， 1?? ?? ② 11.1x ?? ??? ? ? ?當 時 ， 對 稱 軸 的 方 程 為 ?。?11 1 , 1 .1 ?????? ? ? ? ? ??當 時 , 解 得 ⅱ） 11 1 , 1 0 .1 ???? ? ? ? ? ? ??當 時 , 解 得 0.??綜 上 ， 點評： 本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。 例 16． 已知函數(shù)xz axf 22)( ??。 （ 1）將 )(xfy? 的圖象向右平移兩個單位， 得到函數(shù) )(xgy? ，求函數(shù) )(xgy?的解析式； （ 2）函數(shù) )(xhy? 與函數(shù) )(xgy? 的圖象關于直線 1?y 對稱，求函數(shù) )(xhy? 的第 16 頁 共 30 頁 解析式； （ 3）設 )()(1)( xhxfaxF ??，已知 )(xF 的最小值是 m 且 72??m ，求實數(shù) a的取值范圍。 解析： (1) ? ? ? ? 。222 22 ?? ???? xx axfxg (2)設 ? ?xhy? 的圖像上一點 ? ?yxP , ，點 ? ?yxP , 關于 1?y 的對稱點為 ? ?yxQ ?2, ，由點 Q 在 ? ?xgy? 的圖 像上，所以 yaxx ??? ?? 222 22， 于是 ,222 22 ?? ??? xx ay 即 ? ? 。222 22 ?? ??? xx axh （ 3） 22 )14(2411)()(1)( ????????? ???? xx aaxhxfaxF。 設 xt 2? ，則 21444)( ????? tata axF。 問題轉化為： 7221444 ?????? tata a對 0?t 恒成立 . 即 ? ? 014744 2 ????? atta a對 0?t 恒成立 . （ *） 故必有 044 ??aa. （否則，若 044 ??aa，則關于 t 的 二 次 函 數(shù)? ?14744)( 2 ????? atta atu 開口向下，當 t 充分大時，必有 ?? 0?tu ；而當 044 ??aa時， 顯然不能保證（ *）成立 .），此時，由于二次函數(shù) ? ?14744)( 2 ????? atta atu的對稱軸 0847 ???aat，所以，問題等價于 0??t ，即? ????????????????0144447044aa aaa， 解之得： 221 ??a 。 第 17 頁 共 30 頁 此時， 014,044 ???? aaa，故 21444)( ????? tata axF在aaat ? ?? 4 )14(4取得最小值 ? ? 214442 ????? aa am滿足條件。 點評： 緊扣二次函數(shù)的頂點式 ,44222a bacabxay ???????? ??對稱軸、最值、判別式顯合力。 五．思維總結 1．函數(shù)零點的求法： ①（代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實數(shù)根； ②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點。 2． 學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征 . 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力 反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法 . 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。 由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關性質。 （ 1）二次函數(shù)的一般式 cbxaxy ??? 2 )0( ? 中有三個參數(shù) cba , . 解題的關鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。 （ 2）數(shù)形結合：二次函數(shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等。結合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因為二次函數(shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 在區(qū)間]2,( ab??? 和區(qū)間 ),2[ ??? ab 上分別單調，所以函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂 點處取得；函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 第 18 頁 共 30 頁 高三新 數(shù)學 第一輪復習教案（講座 7） — 函數(shù)模型及其應用 一．課標要求： 1． 利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 ； 2． 收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應用。 二．命題走向 函數(shù)應用問題是高考的熱點，高考 對應用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢。高考中重視對環(huán)境保護及數(shù)學課外的的綜合性應用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。 預測 20xx 年的高考，將再現(xiàn)其獨特的考察作用，而函數(shù)類應用題，是考察的重點，因而要認真準備應用題型、探索型和綜合題型，加大訓練力度，重視關于函數(shù)的數(shù)學建模問題，學會用數(shù)學和方法尋求規(guī)律找出解題策略。 （ 1）題型多以大題出現(xiàn)， 以實際問題為背景，通過解決數(shù)學問題的過程，解釋問題； （ 2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過它們的性質（單調性、極值和最值等）來解釋生活現(xiàn)象，主要涉計經(jīng)濟、環(huán)保、能源、健康等社會現(xiàn)象。 三．要點精講 1．解決實際問題的解題過程 （ 1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間的主