【正文】 xxxf 在區(qū)間 ]2,2[? 上滿足0)2()2( ?? ff ，但其存在兩個(gè)解 }1,1{? ”；選項(xiàng) D 正確，見(jiàn)實(shí)例“ 1)( 2 ?? xxf 在區(qū)間 ]2,2[? 上滿足 0)2()2( ?? ff ，但其不存在實(shí)數(shù)解”。 題型 3：二分法的概念 例 5． 關(guān)于“二分法”求方程的近似解，說(shuō)法正確的是 （） A． “二分法”求方程的近似解一定 可將 )(xfy? 在 [a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到； B． “二分法”求方程的近似解有 可能得不 到 )(xfy? 在 [a,b]內(nèi)的零點(diǎn)； C． 應(yīng)用 “二分法”求方程的近似解， )(xfy? 在 [a,b]內(nèi)有可能無(wú)零點(diǎn)； D． “二分法”求方程的近似解 可能得到 0)( ?xf 在 [a,b]內(nèi)的精確解； 解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè)，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)及以上的實(shí)根，二分法只可能求出其中的一個(gè)，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實(shí)施滿足零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，甚至有可能得到函數(shù)的精確 零點(diǎn)。 例 6． 方程 0)( ?xf 在 [0， 1]內(nèi)的近似解，用“二分法”計(jì)算到 ?x 達(dá)到精確度要求。此時(shí)差限 ? 是 ，選項(xiàng)為 C。 題型 4：應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解 例 7． 借助計(jì)算器，用二分法求出 xx 32)62ln( ??? 在區(qū)間（ 1， 2）內(nèi)的近似解（精確到 ）。 令 23)62ln ()( ???? xxxf ， 用計(jì)算器做出如下對(duì)應(yīng)值表 x － 2 － 1 0 1 2 f(x) 27918 － 觀察上表，可知零點(diǎn)在（ 1， 2）內(nèi) 取區(qū)間中點(diǎn) 1x =，且 )( ??f ，從而，可知零點(diǎn)在（ 1， ）內(nèi)； 再取區(qū)間中點(diǎn) 2x =，且 )( ?f ，從而，可知零點(diǎn)在（ ， ）內(nèi)； 同理取區(qū)間中點(diǎn) 3x =，且 0)( ?f ，從而，可知零點(diǎn)在（ ， ）內(nèi)； 由于區(qū)間（ ， ）內(nèi)任一值精確到 后都是 。 點(diǎn)評(píng)：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過(guò)程，通過(guò)本題學(xué)會(huì)借助精度終止二分法的過(guò)程。 分析： 本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？ 略解： 圖象在閉區(qū)間 a[ ， ]b 上連續(xù)的單調(diào)函數(shù) )(xf ，在 a( ， )b 上至多有一個(gè)零點(diǎn)。 題型 5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn) 例 9． 設(shè)二次函數(shù) ? ? ? ?f x ax bx c a? ? ? ?2 0，方程 ? ?f x x? ?0 的兩個(gè)根 x x1 2,滿足 . 當(dāng) ? ?x x?0 1, 時(shí)，證明 ? ?x f x x? ? 1 。 又 )1)(())(()( 211211 ?????????? axaxxxxxxxxxaxxf , ,011,0 221 ??????? axaxaxxx 且 ∴ 1)( xxf ? , 綜上可知，所給問(wèn)題獲證。 例 10．已知二次函數(shù) )0,(1)( 2 ????? aRbabxaxxf ，設(shè)方程 xxf ?)( 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 1x 和 2x . （ 1）如果 42 21 ??? xx ，設(shè)函數(shù) )(xf 的對(duì)稱軸為 0xx? ，求證： 10 ??x ； （ 2）如果 21 ?x ， 212 ??xx ，求 b 的取值范圍 . 解析：設(shè) 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，則 0)( ?xg 的二根為 1x 和 2x 。 又 0121 ?? axx，所以 21,xx 同號(hào)。 點(diǎn)評(píng)：條件 42 21 ??? xx 實(shí)際上給出了 xxf ?)( 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化。 解析：∵ ? ? ? ? ? ? cfcbafcbaf ???????? 0,1,1 , ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?0)),1()1((21),0211(21 fcffbfffa ????????, ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?? ?222 102121 xfxxfxxfxf ?????????? ??????????? ??. 第 11 頁(yè) 共 30 頁(yè) ∴ 當(dāng) 01 ??? x 時(shí)， ? ? ? ? ? ? ? ?.4545)21(1)1(2212210212122222222222??????????????????? ?????????? ???????????????????xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf 當(dāng) 10 ???x 時(shí)， ? ? ? ? ? ? ? ? 222 102121 xfxxfxxfxf ?????????? 222 122 xxxxx ?????? )1(22 222 xxxxx ?????????? ??????????? ?? .4545)21(122?????????xxx 綜上，問(wèn)題獲證。 例 12．已知二次函數(shù) f x ax bx c( ) ? ? ?2 ，當(dāng) ? ? ?1 1x 時(shí)，有 ? ? ?1 1f x( ) ，求證：當(dāng) ? ? ?2 2x 時(shí)，有 ? ? ?7 7f x( ) 解析：由題意知： cbafcfcbaf ???????? )1(,)0(,)1( ， 第 12 頁(yè) 共 30 頁(yè) ∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21 fcffbfffa ????????， ∴ f x ax bx c( ) ? ? ?2 ? ?222 1)0(2)1(2)1( xfxxfxxf ?????????? ??????????? ??。 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(1303113)2( ????????? fffffff , ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(3103131)2( ?????????? fffffff 。 綜上可知：當(dāng) ? ? ?2 2x 時(shí)，有 ? ? ?7 7f x( ) 。 要考慮 ??xf 在區(qū)間 ? ?7,7? 上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮第 13 頁(yè) 共 30 頁(yè) ??xf 在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值。 解析二：求 y=ax2+bx 與 x 軸的交點(diǎn)，令 ax2+bx=0，解得 x=0或 x=－ ab ，而－ 1－ ab 0.故選 A。 例 14． （ 20xx 全國(guó)高考題）設(shè) a∈ R，函數(shù) f(x)=x2+|x－ a|+1,x∈ R. （ 1）討論 f(x)的奇偶性 （ 2）求 f(x)的最小值 . 解：（ 1）顯然 a=0 時(shí)， f(x)為偶函數(shù)， 當(dāng) a≠ 0 時(shí)， f(a)=a2+1, f(－ a)=a2+2|a|+1 f(a)≠ f(－ a), f(a)+f(－ a)≠ 0 ∴ 此時(shí) f(x)為非奇非偶函數(shù) . （ 2）首先應(yīng)先去掉絕對(duì)值，再進(jìn)行討論 . ①當(dāng) x≤ a 時(shí)， 43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf . 第 14 頁(yè) 共 30 頁(yè) 若21?a,則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上單調(diào)遞減， ∴ f(x)的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 (I)) 若21?a，則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上的最小 值為 af ??43)21(（如圖 II). ②當(dāng) x≥ a 時(shí)，43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf， 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 af ???43)21(（如圖 III）。 則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 IV)。 當(dāng)2121 ??? a時(shí)， f(x)最小值為 a2+1。 點(diǎn)評(píng)：該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考察了分類討論的思想。 第 15 頁(yè) 共 30 頁(yè) (Ⅰ )求函數(shù) ??gx的解析式； (Ⅱ )解不等式 ? ? ? ? 1g x f x x? ? ?； (Ⅲ )若 ? ? ? ? ? ? 1h x g x f x?? ? ?在 ? ?1,1? 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) ? 的取值范圍。 當(dāng) 1x? 時(shí)， 22 1 0xx? ? ? ，解得 112x? ? ?。 （Ⅲ） ? ? ? ? ? ?21 2 1 1h x x x??? ? ? ? ? ? ① ? ? ? ?1 4 1 1 ,1h x x? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 在 上 是 增 函 數(shù) ， 1?? ?? ② 11.1x ?? ??? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 對(duì) 稱 軸 的 方 程 為 ?。?11 1 , 1 .1 ?????? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 解 得 ⅱ） 11 1 , 1 0 .1 ???? ? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 解 得 0.??綜 上 ， 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。 （ 1）將 )(xfy? 的圖象向右平移兩個(gè)單位， 得到函數(shù) )(xgy? ，求函數(shù) )(xgy?的解析式； （ 2）函數(shù) )(xhy? 與函數(shù) )(xgy? 的圖象關(guān)于直線 1?y 對(duì)稱，求函數(shù) )(xhy? 的第 16 頁(yè) 共 30 頁(yè) 解析式； （ 3）設(shè) )()(1)( xhxfaxF ??，已知 )(xF 的最小值是 m 且 72??m ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。222 22 ?? ???? xx axfxg (2)設(shè) ? ?xhy? 的圖像上一點(diǎn) ? ?yxP , ，點(diǎn) ? ?yxP , 關(guān)于 1?y 的對(duì)稱點(diǎn)為 ? ?yxQ ?2, ，由點(diǎn) Q 在 ? ?xgy? 的圖 像上，所以 yaxx ??? ?? 222 22， 于是 ,222 22 ?? ??? xx ay 即 ? ? 。 設(shè) xt 2? ，則 21444)( ????? tata axF。 第 17 頁(yè) 共 30 頁(yè) 此時(shí)， 014,044 ???? aaa，故 21444)( ????? tata axF在aaat ? ?? 4 )14(4取得最小值 ? ? 214442 ????? aa am滿足條件。 五．思維總結(jié) 1．函數(shù)零點(diǎn)的求法： ①（代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ②（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。 由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 （ 2）數(shù)形結(jié)合：二次函數(shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等。因?yàn)槎魏瘮?shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 在區(qū)間]2,( ab??? 和區(qū)間 ),2[ ??? ab 上分別單調(diào)，所以函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂 點(diǎn)處取得；函數(shù) )