【正文】 ,1()1((21),0211(21 fcffbfffa ????????, ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?? ?222 102121 xfxxfxxfxf ?????????? ??????????? ??. 第 11 頁 共 30 頁 ∴ 當 01 ??? x 時， ? ? ? ? ? ? ? ?.4545)21(1)1(2212210212122222222222??????????????????? ?????????? ???????????????????xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf 當 10 ???x 時， ? ? ? ? ? ? ? ? 222 102121 xfxxfxxfxf ?????????? 222 122 xxxxx ?????? )1(22 222 xxxxx ?????????? ??????????? ?? .4545)21(122?????????xxx 綜上，問題獲證。 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(1303113)2( ????????? fffffff , ? ? ? ? ? ? ? ? 7)0(3)1(3103131)2( ?????????? fffffff 。 要考慮 ??xf 在區(qū)間 ? ?7,7? 上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮第 13 頁 共 30 頁 ??xf 在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。 例 14． （ 20xx 全國高考題）設 a∈ R，函數(shù) f(x)=x2+|x－ a|+1,x∈ R. （ 1）討論 f(x)的奇偶性 （ 2）求 f(x)的最小值 . 解：（ 1）顯然 a=0 時， f(x)為偶函數(shù)， 當 a≠ 0 時， f(a)=a2+1, f(－ a)=a2+2|a|+1 f(a)≠ f(－ a), f(a)+f(－ a)≠ 0 ∴ 此時 f(x)為非奇非偶函數(shù) . （ 2）首先應先去掉絕對值，再進行討論 . ①當 x≤ a 時， 43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf . 第 14 頁 共 30 頁 若21?a,則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上單調(diào)遞減， ∴ f(x)的最小值為 f(a)=a2+1.(如圖 (I)) 若21?a，則 f(x)在區(qū)間（ ∞， a]上的最小 值為 af ??43)21(（如圖 II). ②當 x≥ a 時，43)21(1)( 22 ???????? axaxxxf， 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值為 af ???43)21(（如圖 III）。 當2121 ??? a時， f(x)最小值為 a2+1。 第 15 頁 共 30 頁 (Ⅰ )求函數(shù) ??gx的解析式； (Ⅱ )解不等式 ? ? ? ? 1g x f x x? ? ?； (Ⅲ )若 ? ? ? ? ? ? 1h x g x f x?? ? ?在 ? ?1,1? 上是增函數(shù)，求實數(shù) ? 的取值范圍。 （Ⅲ） ? ? ? ? ? ?21 2 1 1h x x x??? ? ? ? ? ? ① ? ? ? ?1 4 1 1 ,1h x x? ? ? ? ? ?當 時 ， 在 上 是 增 函 數(shù) ， 1?? ?? ② 11.1x ?? ??? ? ? ?當 時 ， 對 稱 軸 的 方 程 為 ?。?11 1 , 1 .1 ?????? ? ? ? ? ??當 時 , 解 得 ⅱ） 11 1 , 1 0 .1 ???? ? ? ? ? ? ??當 時 , 解 得 0.??綜 上 ， 點評： 本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。222 22 ?? ???? xx axfxg (2)設 ? ?xhy? 的圖像上一點 ? ?yxP , ，點 ? ?yxP , 關(guān)于 1?y 的對稱點為 ? ?yxQ ?2, ，由點 Q 在 ? ?xgy? 的圖 像上，所以 yaxx ??? ?? 222 22， 于是 ,222 22 ?? ??? xx ay 即 ? ? 。 第 17 頁 共 30 頁 此時， 014,044 ???? aaa，故 21444)( ????? tata axF在aaat ? ?? 4 )14(4取得最小值 ? ? 214442 ????? aa am滿足條件。 由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。因為二次函數(shù) ? ?0)( 2 ???? acbxaxxf 在區(qū)間]2,( ab??? 和區(qū)間 ),2[ ??? ab 上分別單調(diào)，所以函數(shù) ??xf 在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂 點處取得；函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。 四．典例解析 題型 1：正比例、反比例和一次函數(shù)型 例 1．某地區(qū) 1995 年底沙漠面積為 95 萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù) 5 年的觀測，并將每年年底的觀測結(jié)果記錄如下表。 （ 2）設從 1996 年算起，第 x 年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到 90 萬公頃，由題意得 95+－ (x－ 5)=90， 解得 x=20（年）。 例 2．（ 20xx 安徽理 21）（已知函數(shù) ??fx在 R 上有定義，對任何實數(shù) 0a? 和任何實數(shù) x ，都有 ? ? ? ?f ax af x? （Ⅰ）證明 ? ?00f ? ； （Ⅱ）證明 ? ? ,0,0kx xfx hx x ??? ? ?? 其中 k 和 h 均為常數(shù)； 證明（Ⅰ）令 0x? ，則 ? ? ? ?00f af? ，∵ 0a? ，∴ ? ?00f ? ?！? ? ,0,0kx xfx hx x ??? ? ?? 成立。 （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 x 年 4 6 8 ? cbxaxy ??? 2 （萬元） 7 11 7 ? 解析：表中已給出了二次函數(shù)模型 cbxaxy ??? 2 ， 由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點（ 4， 7），（ 6， 11），（ 8， 7），則 第 21 頁 共 30 頁 ????????????????????.887,6611,447222cbacbacba。 例 4．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。 所以，汽車在剎車時的速度是 。 解析：由表中的數(shù)據(jù)知，本題需用分段函數(shù)進行處理。 所以到 20xx 年可以收回全部投資款。下面是某日水深的數(shù)據(jù)： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 經(jīng)長期觀察， y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù) y=Asinω t+b 的圖象。 （ 2）由題意，該船進出港時，水深應不小于 5+=（ m）， 所以 ??t? ， 化為 216sin ?t? ， 應有 652662 ????? ???? ktk ， 解得 12k+1≤ t≤ 12k+5 （ k∈ Z）。 題型 5：不等式型 例 9．（ 20xx 湖南理 20）對 1 個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗 , 清洗前其清潔度 (含污物體的清潔度定義為 : ）物體質(zhì)量（含污物） 污物質(zhì)量?1為 , 要求清洗完后的清潔度為 . 有兩種方案可供選擇 , 方案甲 : 一次清洗 。 251 3 , ( ) 1 0a T aa? ? ? ? ?時,故 T(a )是增函數(shù)，這說明 ,隨著 a 的值的最少總用水第 27 頁 共 30 頁 量 , 最少總用水量最少總 用水量 . 點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“xx 1?”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。 題型 6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù) 例 11．有一個湖泊受污染，其湖水的容量為 V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。 解析： （ 1）設 210 tt ?? ， 因為 )(tg 為常數(shù)， )()( 21 tgtg ? ，即 0]][)0([ 21 ??? ?? tvrtvr eerpg， 則rpg ?)0(； （ 2）設 210 tt ?? ， ?? )()( 21 tgtg ]][)0([ 21 tvrtvr eerpg ?? ?? =2112])0([ttvrtvrtvreeerpg???? 因為 0)0( ??rpg， 210 tt ?? ， )()( 21 tgtg ? 。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴重”還是“污染越來越輕” 第 29 頁 共 30 頁 例 12．現(xiàn)有某種細胞 100 個，其中有占總數(shù) 12的 細胞每小時分裂一次，即由 1 個細胞分裂成 2 個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過 1010 個？（參考數(shù)據(jù)： lg 3 , lg 2 ??） . 解析：現(xiàn)有細胞 100 個 ， 先考慮經(jīng)過 4 個小時后的細胞總數(shù)， 1 小時后，細胞總數(shù)為 1 1 31 0 0 1 0 0 2 1 0 02 2 2? ? ? ? ? ?； 2 小時后，細胞總數(shù)為 1 3 1 3 91 0 0 1 0 0 2 1 0 02 2 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ?； 3 小時后，細胞總數(shù)為 1 9 1 9 2 71 0 0 1 0 0 2 1 0 02 4 2 4 8? ? ? ? ? ? ? ?； 4 小時后，細胞總數(shù)為 1 2 7 1 2 7 8 11 0 0 1 0 0 2 1 0 02 8 2 8 1 6? ? ? ? ? ? ? ?； 可見，細胞總數(shù) y 與時間 x （小時）之間的函數(shù)關(guān)系為： 31002xy ????????， xN?? 由 103100 102x????????， 得 83 102x???????， 兩邊取以 10 為底的對數(shù)，得 3lg 82x ?， ∴ 8lg3 lg2x ? ?， ∵ 88 4 5 .4 5l g 3 l g 2 0 .4 7 7 0 .3 0 1????， ∴ ? . 答：經(jīng)過 46 小時，細胞總數(shù)超過 1010 個 。在應用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù) 的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學模型，解答有關(guān)的實