高中數(shù)學高考復習導數(shù)及其應用-預覽頁
【正文】 條件?！ 『瘮?shù)的極值 ?。?）函數(shù)的極值的定義 設函數(shù) 在點 附近有定義，如果對 附近的所有點，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極大值，記作 ； 如果對 附近的所有點，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極小值，記作 ?！ 『瘮?shù)的最大值與最小值 ?。?）定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值。 ?。?）探求步驟： 設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下： ?。?I ）求 在 內(nèi)的極值； ?。?II ）求 在定義區(qū)間端點處的函數(shù)值 ， ； ?。?III ）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值?！ ∷摹⒔?jīng)典例題 例設函數(shù) 在點 處可導，且 ，試求 （1） ； （2） ； ?。?） ； ?。?） （ 為常數(shù)）?！ ↑c評：為避免直接運用求導法則帶來的不必要的繁雜運算，首先對函數(shù)式進行化簡或化整為零，而后再實施求導運算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。 證明：注意到兩曲線在公共點處相切當且僅當它們在公共點處的切線重合， 設上述兩曲線的公共點為 ，則有 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 于是，對于 有 ； ① 對于 ，有 ② ∴由①得 ， 由②得 ∴ ，即兩曲線在公共點處的切線斜率相等， ∴兩曲線在公共點處的切線重合 ∴兩曲線在公共點處相切。 ?。?） 若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設矛盾； 若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設矛盾； 若 ，則 并且當 時， ； 當 時， ∴綜合可知，當 時， 恰有三個單調(diào)區(qū)間： 減區(qū)間 ；增區(qū)間 點評：對于（1），由已知條件得 ，并由此獲得k的可能取值，進而再利用已知條件對所得k值逐一驗證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。 例 ?。?）已知 的最大值為3，最小值為29，求 的值； ?。?）設 ，函數(shù) 的最大值為1，最小值為 ，求常數(shù) 的值?！ 、 B、 C、 D、 分析：由題意得 ， ， ， ， ∴ 具有周期性，且周期為4， ∴ ，應選C?！ 》治觯涸O切點為M ，則以M為切點的切線方程為 ∴由曲線過原點得 ，∴ ， ∴切點為 ，切線斜率為 ?！ 。ㄈ┙獯痤} 1 已知 ，討論導數(shù) 的極值點的個數(shù)。 本題考查導數(shù)的應用以及二次方程根、“ ”等知識?！ 。á瘢┣蠛瘮?shù) 的解析式； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 的單調(diào)區(qū)間?！ 〗獯稹 。á瘢┯珊瘮?shù) 的圖象在點 處的切線方程為 知： ，即 ， ∴ 即 解得 所以所求函數(shù)解析式 ?。á颍? 令 解得 當 或 時， 當 時， 所以 在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù)?！ ? 已知函數(shù) ?！ ? ∴ （舍去） 則 ， ， 變化情況表為：01 —0+ ↘↗ 因而當 時 為減函數(shù)；當 時 為增函數(shù)； 當 時， 的值域為 ； ?。á颍? 因此 ，當 時 因此當 時 為減函數(shù)，從而當 時有 又 ，即當 時有 任給 ， ，存在 使得 則 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范圍為 ?！ ?，函數(shù) ?。á瘢┊?時，求使 成立的 成立的 的集合； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 在區(qū)間 上的最小值?！ ?Ⅱ)設正數(shù) 滿足 ，證明 ?！ 鄁（x）在 時取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明 ?。╥）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當n=k時命題成立，即若正數(shù) 滿足 ,則 當n=k+1時，若正數(shù) 滿足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當n=k+1時命題也成立?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 ， 另一方面，由于 滿足前述題設中關于 的條件， 利用(Ⅱ)的結(jié)果可知， 的充要條件是：過點 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ， 該切線的方程為： ， 于是 的充要條件是 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在 使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為 的取值范圍，①式即為實數(shù) 與 所滿足的關系。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數(shù)a與b所滿足的關系。 ?。á瘢┣?及 的方程； ?。á颍┳C明 是等差數(shù)列?！ ? 令 ∴ 此為關鍵 ?。á颍┓椒ㄍá瘢┩茖С觯?然后用數(shù)學歸納法證明
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