高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 條件。 函數(shù)的極值 ?。?）函數(shù)的極值的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 附近有定義，如果對 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極大值，記作 ； 如果對 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極小值，記作 。 函數(shù)的最大值與最小值 ?。?）定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，則 在 上必有最大值和最小值；在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值?！ 。?）探求步驟： 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下： ?。?I ）求 在 內(nèi)的極值； （ II ）求 在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ， ； （ III ）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值?！ ∷摹⒔?jīng)典例題 例設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且 ，試求 ?。?） ； ?。?） ； ?。?） ； （4） （ 為常數(shù)）。 點(diǎn)評：為避免直接運(yùn)用求導(dǎo)法則帶來的不必要的繁雜運(yùn)算，首先對函數(shù)式進(jìn)行化簡或化整為零，而后再實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時，“先變后求”的手法顯然更為靈巧。 證明：注意到兩曲線在公共點(diǎn)處相切當(dāng)且僅當(dāng)它們在公共點(diǎn)處的切線重合， 設(shè)上述兩曲線的公共點(diǎn)為 ，則有 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 于是，對于 有 ； ① 對于 ，有 ② ∴由①得 ， 由②得 ∴ ，即兩曲線在公共點(diǎn)處的切線斜率相等， ∴兩曲線在公共點(diǎn)處的切線重合 ∴兩曲線在公共點(diǎn)處相切。 ?。?） 若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾； 若 ，則 ，此時 只有一個增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾； 若 ，則 并且當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時， ∴綜合可知，當(dāng) 時， 恰有三個單調(diào)區(qū)間： 減區(qū)間 ；增區(qū)間 點(diǎn)評：對于（1），由已知條件得 ，并由此獲得k的可能取值，進(jìn)而再利用已知條件對所得k值逐一驗(yàn)證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略?！ ± 。?）已知 的最大值為3，最小值為29，求 的值； （2）設(shè) ，函數(shù) 的最大值為1，最小值為 ，求常數(shù) 的值?！ 、 B、 C、 D、 分析：由題意得 ， ， ， ， ∴ 具有周期性，且周期為4， ∴ ，應(yīng)選C?！ 》治觯涸O(shè)切點(diǎn)為M ，則以M為切點(diǎn)的切線方程為 ∴由曲線過原點(diǎn)得 ，∴ ， ∴切點(diǎn)為 ，切線斜率為 ?！ 。ㄈ┙獯痤} 1 已知 ，討論導(dǎo)數(shù) 的極值點(diǎn)的個數(shù)?！ ”绢}考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次方程根、“ ”等知識?！ 。á瘢┣蠛瘮?shù) 的解析式； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 的單調(diào)區(qū)間?！ 〗獯稹 。á瘢┯珊瘮?shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為 知： ，即 ， ∴ 即 解得 所以所求函數(shù)解析式 （Ⅱ） 令 解得 當(dāng) 或 時， 當(dāng) 時， 所以 在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù)?！ ? 已知函數(shù) ?！ ? ∴ （舍去） 則 ， ， 變化情況表為：01 —0+ ↘↗ 因而當(dāng) 時 為減函數(shù)；當(dāng) 時 為增函數(shù)； 當(dāng) 時， 的值域?yàn)?； （Ⅱ） 因此 ，當(dāng) 時 因此當(dāng) 時 為減函數(shù)，從而當(dāng) 時有 又 ，即當(dāng) 時有 任給 ， ，存在 使得 則 由（1）得 或 ，由（2）得 又 故 的取值范圍為 。 ，函數(shù) （Ⅰ）當(dāng) 時，求使 成立的 成立的 的集合； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 在區(qū)間 上的最小值?！ ?Ⅱ)設(shè)正數(shù) 滿足 ，證明 ?！ 鄁（x）在 時取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明 ?。╥）當(dāng)n=1時，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù) 滿足 ,則 當(dāng)n=k+1時，若正數(shù) 滿足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當(dāng)n=k+1時命題也成立?！ ?，即 對任意 成立的充要條件是 ， 另一方面，由于 滿足前述題設(shè)中關(guān)于 的條件， 利用(Ⅱ)的結(jié)果可知， 的充要條件是：過點(diǎn) 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ， 該切線的方程為： ， 于是 的充要條件是 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在 使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為 的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù) 與 所滿足的關(guān)系。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ③ 因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿足的關(guān)系?！ 。á瘢┣?及 的方程； ?。á颍┳C明 是等差數(shù)列?！ ? 令 ∴ 此為關(guān)鍵 ?。á颍┓椒ㄍá瘢┩茖?dǎo)出： 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明
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