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高中數(shù)學高考復習導數(shù)及其應用-預覽頁

2025-08-29 18:24 上一頁面

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【正文】 條件?! 『瘮?shù)的極值 ?。?)函數(shù)的極值的定義  設函數(shù) 在點 附近有定義,如果對 附近的所有點,都有 ,則說 是函數(shù) 的一個極大值,記作 ;  如果對 附近的所有點,都有 ,則說 是函數(shù) 的一個極小值,記作 ?! 『瘮?shù)的最大值與最小值  (1)定理  若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù),則 在 上必有最大值和最小值;在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù)的函數(shù) 不一定有最大值與最小值?! 。?)探求步驟:  設函數(shù) 在 上連續(xù),在 內(nèi)可導,則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下: ?。?I )求 在 內(nèi)的極值; ?。?II )求 在定義區(qū)間端點處的函數(shù)值 , ; ?。?III )將 的各極值與 , 比較,其中最大者為所求最大值,最小者為所求最小值?! ∷?、經(jīng)典例題  例設函數(shù) 在點 處可導,且 ,試求  (1) ; ?。?) ;  (3) ;  (4)    ( 為常數(shù))?! ↑c評:為避免直接運用求導法則帶來的不必要的繁雜運算,首先對函數(shù)式進行化簡或化整為零,而后再實施求導運算,特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式,或根式可轉化為方冪的形式時,“先變后求”的手法顯然更為靈巧?! ∽C明:注意到兩曲線在公共點處相切當且僅當它們在公共點處的切線重合,  設上述兩曲線的公共點為 ,則有   , ,  ∴   ,           ∴ ,  ∴ ,           ∴   于是,對于 有 ;     ①  對于 ,有      ②  ∴由①得   ,  由②得           ∴ ,即兩曲線在公共點處的切線斜率相等,  ∴兩曲線在公共點處的切線重合  ∴兩曲線在公共點處相切?! 。?)   若 ,則 ,此時 只有一個增區(qū)間 ,與題設矛盾;  若 ,則 ,此時 只有一個增區(qū)間 ,與題設矛盾;  若 ,則   并且當 時, ;  當 時,   ∴綜合可知,當 時, 恰有三個單調區(qū)間:  減區(qū)間 ;增區(qū)間   點評:對于(1),由已知條件得 ,并由此獲得k的可能取值,進而再利用已知條件對所得k值逐一驗證,這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略?! ± 。?)已知 的最大值為3,最小值為29,求 的值; ?。?)設 ,函數(shù) 的最大值為1,最小值為 ,求常數(shù) 的值?! 、       B、      C、        D、   分析:由題意得 ,   ,   ,   ,     ∴ 具有周期性,且周期為4,  ∴ ,應選C?! 》治觯涸O切點為M ,則以M為切點的切線方程為   ∴由曲線過原點得 ,∴ ,  ∴切點為 ,切線斜率為 。 ?。ㄈ┙獯痤}  1 已知 ,討論導數(shù) 的極值點的個數(shù)?! ”绢}考查導數(shù)的應用以及二次方程根、“ ”等知識。 ?。á瘢┣蠛瘮?shù) 的解析式;  (Ⅱ)求函數(shù) 的單調區(qū)間?! 〗獯稹 。á瘢┯珊瘮?shù) 的圖象在點 處的切線方程為 知:   ,即 ,     ∴   即   解得      所以所求函數(shù)解析式  ?。á颍?  令 解得   當 或 時,   當 時,   所以 在 內(nèi)是減函數(shù),在 內(nèi)是增函數(shù)?! ?   已知函數(shù) ?!  ?   ∴ (舍去)  則 , , 變化情況表為:01   —0+   ↘↗  因而當 時 為減函數(shù);當 時 為增函數(shù);  當 時, 的值域為 ;  (Ⅱ)   因此 ,當 時   因此當 時 為減函數(shù),從而當 時有   又 ,即當 時有   任給 , ,存在 使得   則             由(1)得 或 ,由(2)得   又   故 的取值范圍為 ?! ?,函數(shù)  ?。á瘢┊?時,求使 成立的 成立的 的集合;  (Ⅱ)求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值?! ?Ⅱ)設正數(shù) 滿足 ,證明 ?!  鄁(x)在 時取得最小值且最小值為   (Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明 ?。╥)當n=1時,由(Ⅰ)知命題成立;  (ii)假定當n=k時命題成立,即若正數(shù)   滿足 ,則   當n=k+1時,若正數(shù) 滿足   令 ,   則 為正數(shù),且   由歸納假定知       ①  同理,由 ,可得   ≥(1-x)(-k)+(1-x)log2(1-x).   ②  綜合①、②兩式     ≥[x+(1-x)](-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x)  ≥-(k+1).  即當n=k+1時命題也成立。   ,即 對任意 成立的充要條件是 ,  另一方面,由于 滿足前述題設中關于 的條件,  利用(Ⅱ)的結果可知, 的充要條件是:過點 與曲線 相切的直線的斜率不大于 ,  該切線的方程為: ,  于是 的充要條件是   綜上,不等式 對任意 成立的充要條件是          ①  顯然,存在 使①式成立的充要條件是:不等式      ②  有解,解不等式②得          ③  因此,③式即為 的取值范圍,①式即為實數(shù) 與 所滿足的關系。因此 成立的充要條件是 ,即   綜上,不等式 對任意 成立的充要條件是    ①  顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式            ②  有解,解不等式②得                          ?、邸 ∫虼?,③式即為b的取值范圍,①式即為實數(shù)a與b所滿足的關系?! 。á瘢┣?及 的方程; ?。á颍┳C明 是等差數(shù)列?! ?  令   ∴ 此為關鍵 ?。á颍┓椒ㄍá瘢┩茖С觯?然后用數(shù)學歸納法證明
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