高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 令 ∴ 此為關(guān)鍵 ?。á颍┓椒ㄍá瘢┩茖?dǎo)出： 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。因此 成立的充要條件是 ，即 綜上，不等式 對(duì)任意 成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ② 有解，解不等式②得 ?、邸 ∫虼?，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。 ∴f（x）在 時(shí)取得最小值且最小值為 (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明 ?。╥）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立； (ii)假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù) 滿足 ,則 當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù) 滿足 令 , 則 為正數(shù)，且 由歸納假定知 ① 同理，由 ,可得 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x). ② 綜合①、②兩式 ≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x) ≥－(k+1). 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立?！ ?，函數(shù) ?。á瘢┊?dāng) 時(shí)，求使 成立的 成立的 的集合； （Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值?！ ? 已知函數(shù) ?！ 。á瘢┣蠛瘮?shù) 的解析式； ?。á颍┣蠛瘮?shù) 的單調(diào)區(qū)間?！ 。ㄈ┙獯痤} 1 已知 ，討論導(dǎo)數(shù) 的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)?！ 、 B、 C、 D、 分析：由題意得 ， ， ， ， ∴ 具有周期性，且周期為4， ∴ ，應(yīng)選C?！ 。?） 若 ，則 ，此時(shí) 只有一個(gè)增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾； 若 ，則 ，此時(shí) 只有一個(gè)增區(qū)間 ，與題設(shè)矛盾； 若 ，則 并且當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ∴綜合可知，當(dāng) 時(shí)， 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間： 減區(qū)間 ；增區(qū)間 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），由已知條件得 ，并由此獲得k的可能取值，進(jìn)而再利用已知條件對(duì)所得k值逐一驗(yàn)證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略?！ ↑c(diǎn)評(píng)：為避免直接運(yùn)用求導(dǎo)法則帶來的不必要的繁雜運(yùn)算，首先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或化整為零，而后再實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算，特別是積、商的形式可以變?yōu)榇鷶?shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)化為方冪的形式時(shí)，“先變后求”的手法顯然更為靈巧?！ 。?）探求步驟： 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則探求函數(shù) 在 上的最大值與最小值的步驟如下： （ I ）求 在 內(nèi)的極值； （ II ）求 在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ， ； （ III ）將 的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值?！ 『瘮?shù)的極值 ?。?）函數(shù)的極值的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 附近有定義，如果對(duì) 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個(gè)極大值，記作 ； 如果對(duì) 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個(gè)極小值，記作 。于是所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系的簡(jiǎn)單函數(shù)的鏈條： ； ?。á颍┻\(yùn)用上述法則求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題思路 ①分解：分析所給函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡(jiǎn)單函數(shù)； ②求導(dǎo)：明確每一步是哪一變量對(duì)哪一變量求導(dǎo)之后，運(yùn)用上述求導(dǎo)法則和基本公式求； ?、圻€原：將上述求導(dǎo)后所得結(jié)果中的中間變量還原為自變量的函數(shù)，并作以適當(dāng)化簡(jiǎn)或整理。 事實(shí)上， 在點(diǎn) 處的增量 當(dāng) 時(shí)， ， ； 當(dāng) 時(shí)， ， 由此可知， 不存在，故 在點(diǎn) 處不可導(dǎo)?！ 。á颍┤绻瘮?shù) 在開區(qū)間（ ）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則說 在開區(qū)間（ ）內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)，對(duì)于開區(qū)間（ ）內(nèi)每一個(gè)確定的值 ，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（ ）內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)叫做 在開區(qū)間（ ）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），記作 或 ， 即 。 認(rèn)知： ?。á瘢┖瘮?shù) 的導(dǎo)數(shù) 是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 是一個(gè)數(shù)值； 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 是 的導(dǎo)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的函數(shù)值?！ ∏髮?dǎo)公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則 ?。?）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)公式） 公式1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （c為常數(shù)），即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。 二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性 （1）導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性： 一般地，設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若 為增函數(shù)；若 為減函數(shù)；若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)?！ O大值與極小值統(tǒng)稱極值 認(rèn)知：由函數(shù)的極值定義可知： （Ⅰ）函數(shù)的極值點(diǎn) 是區(qū)間 內(nèi)部的點(diǎn)，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處取得； ?。á颍O值是一個(gè)局部性概念；一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個(gè)極大值和極小值，并且在某一點(diǎn)的極小值有可能大于另一點(diǎn)處的極大值； ?。á螅┊?dāng)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù) 在 內(nèi)的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)交替出現(xiàn)?！ ∫辏喝艉瘮?shù) 在 上連續(xù)，則 的極值或最值也可能在不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得?！ ±谇€C： 上，求斜率最小的切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，并證明曲線C關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱。 例已知函數(shù) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得極值，并且極大值比極小值大4. ?。?）求常數(shù) 的值； ?。?）求 的極值?！ 『瘮?shù) 有極值的充要條件為（ ） A、 B、 C、 D、 分析： ∴當(dāng) 時(shí)， 且 ； 當(dāng) 時(shí)，令 得 有解， 因此 才有極值，故應(yīng)選C?！ 〗馕觯合葘?求導(dǎo)， 即 ?！ 〗馕觯骸 。?）由 在切線上，求得 ，再由 在函數(shù)圖象上和 得兩個(gè)關(guān)于 的方程?！ 。á瘢┣?的單調(diào)區(qū)間和值域； ?。á颍┰O(shè) ，函數(shù) ，若對(duì)于任意 ，總存在 ，使得 成立，求 的取值范圍。 答案：
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