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蘇教版高中數(shù)學選修1-1第三章《導數(shù)及其應用》單元檢測(b)-預覽頁

2025-01-06 09:21 上一頁面

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【正文】 一年付出的保管費用 60 000 元,則 60 0001504 000 = 10%,為年保管費用率 ),則每次訂購多少臺電腦,才能使訂購電腦的其它費用及保管費用之和最小? 19. (16分 )設(shè) a為實數(shù),函數(shù) f(x)= ex- 2x+ 2a, x∈ R. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值; (2)求證:當 aln 2- 1且 x0時, exx2- 2ax+ 1. 20.(16分 )已知函數(shù) f(x)= x2+ ln x. (1)求函數(shù) f(x)在 [1, e]上的最大值和最小值; (2)求證:當 x∈ (1,+ ∞) 時,函數(shù) f(x)的圖象在 g(x)= 23x3+ 12x2的下方. 第 3 章 導數(shù)及其應用 (B) 1. 3 解析 ∵ 令 y= f(x), y= x3+ ax+ b?y′ = 3x2+ a, f′(1) = 3+ a= k,又 3= k4 0004 00010% , y′ =- 1x21 0% 令 y′ = 0, 解得 x= 200(臺 ). 也就是當 x= 200臺時,每年訂購電腦的其它費用及保管費用之和最?。? 19. (1)解 由 f(x)= ex- 2x+ 2a, x∈ R知 f′( x)= ex- 2, x∈ R. 令 f′( x)= 0,得 x= ln x變化時, f′( x), f(x)的變化情況如下表: 故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- ∞ , ln 2),單調(diào)遞增區(qū)間是 (ln 2,+ ∞) , f(x)在 x= ln 2處取得極小值,極小值為 2(1- ln 2+ a). (2)證明 設(shè) g(x)= ex- x2+ 2ax- 1, x∈ R, 于是 g′( x)= ex- 2x+ 2a, x∈ R. 由 (1)知當 aln 2- 1時, g′( x)取最小值為 g′(ln 2) = 2(1- ln2+ a)0. 于是對任意 x∈ R,都有 g′( x)0,所以 g(x)在 R 內(nèi)單調(diào)遞增. 于是當 aln 2- 1時,對任意 x∈ (0,+ ∞) ,都有 g(x)g(0). 而 g(0)= 0,從而對任意 x∈ (0,+ ∞) ,都有 g(x)0. 即 ex- x2+ 2ax- 10,故 exx2- 2ax+ 1. 20. (1)解 ∵ f(x)= x2+ ln x, ∴ f′( x)= 2x+ 1x. ∵ x1時, f′( x)0,故 f(x)在 [1, e]上是增函數(shù), ∴ f(x)的最小值是 f(1)= 1,最大值是 f(e)= 1+ e2. (2)證明 令 F(x)= f(x)- g(x) = 12x2- 23x3+ ln x, ∴ F′( x)= x- 2x2+ 1x= x2- 2x3+ 1x = x2- x3- x3+ 1x =- x x2+ x+x ∵ x1, ∴ F′( x)0, ∴ F(x)在 (1,+ ∞) 上是減函數(shù), ∴ F(x)F(1)= 12- 23=- 160. ∴ f(x)g(x). 故當 x∈ (1,+ ∞) 時,函數(shù) f(x)的圖象在 g(x)= 23x3+ 12x2的下方.
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