蘇教版高中數(shù)學選修1-1第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章末總結(jié)-預(yù)覽頁
【正文】 ′( x)＝ 2x－ ax2＝ 2x3－ ax2 . 要使 f(x)在 [2，＋ ∞) 上是單調(diào)遞增的， 則 f′( x)≥0 在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立， 即 2x3－ ax2 ≥0 在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立． ∵ x20， ∴ 2x3－ a≥0 ， ∴ a≤2 x3在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立． ∴ a≤ (2x3)min. ∵ x∈ [2，＋ ∞) ， y＝ 2x3是單調(diào)遞增的， ∴ (2x3)min＝ 16， ∴ a≤16. 當 a＝ 16時， f′( x)＝ 2x3－ 16x2 ≥0 ( x∈ [2，＋ ∞)) 有且只有 f′(2) ＝ 0， ∴ a的取值范圍是 a≤16. 例 5 解 ∵ f(x)＝ x3－ 12x2－ 2x＋ 5， ∴ f′( x)＝ 3x2－ x－ 2. 令 f′( x)＝ 0，即 3x2－ x－ 2＝ 0， ∴ x＝ 1或 x＝－ 23. 當 x∈ ??? ???－ 1，－ 23 時， f′( x)0， f(x)為增函數(shù)； 當 x∈ ??? ???－ 23， 1 時， f′( x)0， f(x)為減函數(shù)； 當 x∈ (1,2)時， f′( x)0， f(x)為增函數(shù)． 所以，當 x＝－ 23時， f(x)取得極大值 f??? ???－ 23 ＝ 15727； 當 x＝ 1時， f(x)取得極小值 f(1)＝ 72. 又 f(－ 1)＝ 112 ， f(2)＝ 7， 因此， f(x)在 [－ 1,2]上的最大值為 f(2)＝ 7. 要使 f(x)m恒成立，需 f(x)maxm，即 m7. 所以，所求實數(shù) m的取值范圍是 (7，＋ ∞) ．
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