高三數(shù)學：函數(shù)模型及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-03 13:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?0 ，45時， y ≤ f??????45 ； 當 x ∈??????45，43時， y ≤ f??????43 ； 當 x ∈??????43，＋ ∞ 時，令 24 x － ＝ ， 解得 x ＝ . 所以甲戶用水量為 5 x ＝ 5 ＝ 噸， 付費 S1＝ 4 ＋ 3 ＝ ( 元 ) ； 乙戶用水量為 3 x ＝ 噸， 付費 S2＝ 4 ＋ 3 ＝ ( 元 ) ． 指數(shù)函數(shù)模型 [ 例 3] ( 2022 廣州模擬 ) 一片森林原來面積為 a ，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是 10 年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22. (1)求每年砍伐面積的百分比； (2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多還能砍伐多少年？ [ 自主解答 ] ( 1 ) 設(shè)每年降低的百分比為 x ( 0 x 1) ．則 a (1 － x )10＝12a ，即 (1 － x )10＝12， 解得 x ＝ 1 －??????12110 . ( 2) 設(shè)經(jīng)過 m 年剩余面積為原來的22，則 a (1 － x )m＝22a ，即??????12m10 ＝??????1212 ，m10＝12，解得 m ＝ 5. 故到今年為止，已砍伐了 5 年． ( 3) 設(shè)從今年開始，以后砍了 n 年， 則 n 年后剩余面積為22a (1 － x )n. 令22a (1 － x )n≥14a ，即 (1 － x )n≥24， ??????1210n≥??????1232 ，n10≤32，解得 n ≤ 15. 故今后最多還能砍伐 15 年． 增長率問題，在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型 y＝ N(1＋ p)x(其中 N是基礎(chǔ)數(shù)， p為增長率， x為時間 )和冪函數(shù)模型 y＝ a(1＋ x)n(其中 a為基礎(chǔ)數(shù)， x為增長率，n為時間 )的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算和開方運算，要注意用已知給定的值對應(yīng)求解． 3． (2022梅州模擬 )某 電器公司生產(chǎn) A種型號的家庭電 腦， 2022年平均每臺電腦生產(chǎn)成本為 5 000元，并以純利潤 20%標定出廠價 .2022年開始，公司更新設(shè)備，加強管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低．預(yù)計 2022年每臺 A種型號的家庭電腦的出廠價僅是 2022年的出廠價的 80%，實現(xiàn)了純利潤為50%的高效益． ( 1) 求 2022 年每臺電腦的生產(chǎn)成本； ( 2) 以 201 1 年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，求 201 1 年至 20 15 年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分數(shù)． ( 精確到 ，以下數(shù)據(jù)可供參考： 5 ＝ ， 6 ＝ ) 解： ( 1) 設(shè) 2022 年每臺電腦的生產(chǎn)成本為 x 元， 依題意，得 x (1 ＋ 50 % ) ＝ 5 00 0 (1 ＋ 20 % ) 8 0% ， 解得 x ＝ 3 20 0( 元 ) ． ( 2) 設(shè) 201 1 年至 2022 年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為 y ，則依題意，得 5 00 0( 1 － y )4＝ 3 200 ， 解得 y1＝ 1 －2 55， y2＝ 1 ＋2 55( 舍去 ) ， 則 y ＝ 1 －2 55≈ 1 ＝ 1 1% . 所以 2022 年每臺電腦的生產(chǎn)成本為 3 200 元， 201 1 年至 2022 年生產(chǎn)成本平均每年降低 1 1 % . 對函數(shù)實際應(yīng)用問題的考查，更多地以社會實際生活為背景，設(shè)問新穎、靈活；題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時考查分析問題、解決問題的能力． “大題規(guī)范解答 —— 得全分 ”系列之 (一 ) 函數(shù)實際應(yīng)用題答題模板 [ 典例 ] ( 201 1 山東高考 滿分 12 分 ) 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 ( 不計厚 度，長度單位：米 ) ，其中容器的中間 為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為80π3立方米，且 l ≥2 r . 假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費 [動漫演示更形象，見配套光盤 ] 用為 3千元，半球形部分每平方米建造費用為 c(c3)千元．設(shè)該容器的建造費用為 y千元． (1)寫出 y關(guān)于 r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費用最小時的 r. [教你快速規(guī)范審題 ] 1．審條件，挖解題信息 觀察條件 ― →中間為圓柱形，左右兩端均為半球形的容器，球的半徑為 r ，圓柱的
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