高三數(shù)學：函數(shù)模型及其應用-在線瀏覽
2025-02-24 13:38本頁面
【正文】 始，以后砍了 n 年， 則 n 年后剩余面積為22a (1 － x )n. 令22a (1 － x )n≥14a ，即 (1 － x )n≥24， ??????1210n≥??????1232 ，n10≤32，解得 n ≤ 15. 故今后最多還能砍伐 15 年． 增長率問題，在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型 y＝ N(1＋ p)x(其中 N是基礎數(shù)， p為增長率， x為時間 )和冪函數(shù)模型 y＝ a(1＋ x)n(其中 a為基礎數(shù)， x為增長率，n為時間 )的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算和開方運算，要注意用已知給定的值對應求解． 3． (2022滿分 12 分 ) 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 ( 不計厚 度，長度單位：米 ) ，其中容器的中間 為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為80π3立方米，且 l ≥2 r . 假設該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費 [動漫演示更形象，見配套光盤 ] 用為 3千元，半球形部分每平方米建造費用為 c(c3)千元．設該容器的建造費用為 y千元． (1)寫出 y關(guān)于 r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費用最小時的 r. [教你快速規(guī)范審題 ] 1．審條件，挖解題信息 觀察條件 ― →中間為圓柱形，左右兩端均為半球形的容器，球的半徑為 r ，圓柱的母線為 l ，以及容器的體積 ―― ― ― ―― →可根據(jù)體積公式建立關(guān)系式4π r33＋ π r2l ＝80π3―― ―― ― ―― ―― →利用表面積公式求球及圓柱的表面積S 球 ＝ 4π r2，S 圓柱 ＝ 2π rl 2．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論 ― →求 y 關(guān)于 r 的函數(shù)表達式， 并求該函數(shù)的定義域 ―― ―― ― ―― ―― ―― ―― →求總造價 y ，應求出球形部分及圓柱形部分各自的造價球形部分的造價為 4π r 2 c ，圓柱型部分的造價為 2π rl 3 3．建聯(lián)系，找解題突破口 總造價 y ＝球形部分的造價＋圓柱型部分的造價，即 y ＝ 4π r 2 c ＋ 2π rl 3 ― ―― →應消掉 l只保留 r 由4π r 33 ＋ π r2 l ＝ 80π3 ，解得 l ＝803 r 2 －4 r3 ― ―― →故可得建造費用 y ＝160πr－ 8π r2＋ 4π cr2――――――― ―― →由 l ≥ 2 r 可求 r 的范圍即定義域 0 r ≤ 2 ― → 問題得以解決 1．審條件，挖解題信息 觀察條件 ― → 建造費用 y ＝160πr － 8π r2 ＋ 4π cr 2 ，定義域為 ? 0 ， 2] 2．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論 ― → 求該容器的建造費用最小時的 r ― ―― ―― ―― ―― ―― →建造費用最小，即 y 最小問題轉(zhuǎn)化為 當 r 為何值時， y 取得最小值 3．建聯(lián)系，找解題突破口 分析函數(shù)特點：含分式函數(shù) ―― ―― ― ―― ― →可利用導數(shù)研究函數(shù)的最值 y ′ ＝－160πr 2 － 16π r ＋ 8π cr ＝8π[ ? c － 2 ? r 3 － 20]r 2 ， 0 r ≤ 2 ―― ―― ― ―― ―― →求導數(shù)為零的點 當 r ＝ 320c － 2時， y ′ ＝ 03 20( 0 2 ]2c ???????????與 ， 的 系 ，求 極 值討 論 區(qū) 間 關(guān) 分 3 20c － 2≥ 2 和 0 3 20c － 22 兩種情況討論，并求得結(jié)論 [教你準確規(guī)范解題 ] ( 1) 設容器的體積為 V ，由題意，知 V ＝4π r33＋ π r2l ， 又 V ＝80π3，所以4π r33＋ π r2l ＝80π3，解得 l ＝803 r2 －4 r3， (2 分 ) 由于 l ≥ 2 r ，因此 0 r ≤ 2. (3 分 ) 所以圓柱的側(cè)面積為 2π rl ＝ 2π r??????803 r2 －4 r3＝160π3 r－8π r23，兩端兩個半球的表面積之和為 4π r2， 所以建造費用 y ＝160πr－ 8π r2＋ 4π cr2，定義域為 ( 0,2 ] ． (5 分 ) ( 2) 由 ( 1) ，得 y ′ ＝－160πr2 － 16π r ＋ 8π cr ＝8π[ ? c － 2 ? r3－ 20]r2 ， 0 r ≤ 2. (6 分 ) 由于 c 3 ，所以 c － 20 ， 當 r3－20c － 2＝ 0 時， r ＝ 320c － 2. 令
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