【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 7 ∴ bn=20xx(107) 21?n 。數(shù)列 {bn}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列， 對(duì)每個(gè)自然數(shù) n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。 于是當(dāng) bn≥ 1 時(shí)， BnBn－ 1，當(dāng) bn1 時(shí)， Bn≤ Bn－ 1， 因此數(shù)列 {Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21?n ≥ 1 得： n≤ 20。 ∴ n=20。 點(diǎn)評(píng)：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù) 函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問題。 例 16． 已知函數(shù) 1,0)((l o g)( ???? aaxaxxf a 為常數(shù)） （ 1）求函數(shù) f(x)的定義域； （ 2）若 a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù) f(x)的單調(diào)性。 （ 3）若函數(shù) y=f(x)是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。 解： （ 1）由 axxxax ??? 得0 ∵ a＞ 0， x≥ 0 222 10 axxaxx ????? ??? ∴ f(x)的定義域是 ),1(2 ??? ax。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設(shè)4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數(shù)。 第 14 頁 共 29 頁 （ 3）設(shè) 1121221 ???? xaxaaxx 則 0]1)()[()()()()( 212121212211 ????????????? xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax ???? ① ∵ f(x)是增函數(shù)， ∴ f(x1)＞ f(x2) 即 )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa ??? ② 聯(lián)立①、②知 a＞ 1， ∴ a∈ (1， +∞ )。 點(diǎn)評(píng)： 該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。 題型 9：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 17． 對(duì)于在區(qū)間 ? ?nm, 上有意義的兩個(gè)函數(shù) f(x)與 g(x)，如果對(duì)任意的 ?x ? ?nm, ，均有 1)()( ?? xgxf ，則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是接近的，否則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù) )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a，給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 。 （ 1）若 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上都有意義，求 a 的取值范圍； （ 2）討論 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是否是接近的。 解：（ 1）兩個(gè)函數(shù) )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 有意義，因?yàn)楹瘮?shù) axy 3?? 給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上單調(diào)遞增，函數(shù)在axy ?? 1給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上恒為正數(shù)， 故有意義 當(dāng)且僅當(dāng) 1003)2(10?????????????aaaaa ； （ 2）構(gòu)造函數(shù) )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a ????? ， 第 15 頁 共 29 頁 對(duì)于函數(shù) )3)(( axaxt ??? 來講， 顯然其在 ]2,( a?? 上單調(diào)遞減，在 ),2[ ??a 上單調(diào)遞增。 且 ty alog? 在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 由于 10 ??a ，得 2220 ???? aa 所以原函數(shù)在區(qū)間 ]3,2[ ?? aa 內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證 ??? ???? ???? 1|)23(3log||)3(| 1|)1(4log||)2(| aaF aaFaa ?????????????aaaaa1)23(31)1(4 當(dāng)125790 ??? a時(shí)， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是接近的； 當(dāng)12579??a時(shí)， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是非接近的。 點(diǎn)評(píng)： 該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。 例 18．設(shè) 1x? ， 1y? ，且 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?，求 224T x y?? 的最小值 。 解：令 logxty? ， ∵ 1x? ， 1y? ，∴ 0t? 。 由 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?得 22 3 0tt? ? ?，∴ 22 3 2 0tt? ? ? ， ∴ (2 1)( 2) 0tt? ? ?，∵ 0t? ，∴ 12t?，即 1log2x y?，∴ 12yx? ， ∴ 2 2 2 24 4 ( 2) 4T x y x x x? ? ? ? ? ? ?， 第 16 頁 共 29 頁 ∵ 1x? ，∴當(dāng) 2x? 時(shí)， min 4T ?? 。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。 五．思維總結(jié) 1． bNNaaN abn ??? lo g, （其中 1,0,0 ??? aaN ）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算 .在運(yùn)算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底； 2．要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)； 4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中的 12 個(gè)小點(diǎn)）是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問題是重點(diǎn)題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分類； 6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 3） — 函數(shù)的基本性質(zhì) 一．課標(biāo)要求 1． 通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義； 2． 結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義 ； 二．命題走向 從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。 預(yù)測(cè) 20xx 年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。 預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是： （ 1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題 1 個(gè)或 1 個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題； （ 2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度第 17 頁 共 29 頁 考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。 三．要點(diǎn)精講 1．奇偶性 （ 1）定義：如果對(duì)于函 數(shù) f(x)定義域內(nèi)的任意 x 都有 f(－ x)=－ f(x)，則稱 f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，則稱 f(x)為偶函數(shù)。 如果函數(shù) f(x)不具有上述性質(zhì)，則 f(x)不具有奇偶性 .如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則 f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。 注意： ○ 1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； ○ 2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，則－ x 也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。 （ 2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： ○ 1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關(guān)系； ○ 3 作出相應(yīng)結(jié)論： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)。 （ 3）簡(jiǎn)單性質(zhì)： ①圖象的對(duì)稱 性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱； ② 設(shè) ()fx， ()gx 的定義域分別是 12,DD，那么在它們的公共定義域上： 奇 +奇 =奇，奇 ?奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 ?偶 =偶，奇 ?偶 =奇 2．單調(diào)性 （ 1）定義：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?I， 如果對(duì)于定義域 I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1， x2，當(dāng) x1x2 時(shí)，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（減函數(shù)）； 注意： ○ 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； ○ 2 必須是對(duì)于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1， x2；當(dāng) x1x2時(shí)，總有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做 y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。 （ 3）設(shè)復(fù)合函數(shù) y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數(shù)， y= f(u)在 B 上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在 A 上是增函數(shù)； ②若 u=g(x)在 A 上是增（或減）函數(shù)，而 y= f(u)在 B 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在 A 上是減函數(shù)。 （ 4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 第 18 頁 共 29 頁 利用定義證明函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性的一般步驟： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號(hào)（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負(fù)）； ○ 5 下結(jié)論（即指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性）。 （ 5）簡(jiǎn)單性質(zhì) ①奇函數(shù) 在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； ②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； ③在公共定義域內(nèi)： 增函數(shù) ?)(xf 增函數(shù) )(xg 是增函數(shù)； 減函數(shù) ?)(xf 減函數(shù) )(xg 是減函數(shù)； 增函數(shù) ?)(xf 減函數(shù) )(xg 是增函數(shù)； 減函數(shù) ?)(xf 增函數(shù) )(xg 是減函數(shù) 。 3．最值 （ 1）定義： 最大值：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?I，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：①對(duì)于任意的x∈ I，都有 f(x)≤ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數(shù) y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?I，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：①對(duì)于任意的x∈ I，都有 f(x)≥ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數(shù) y=f(x)的最大值。 注意： ○ 1 函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某 一個(gè)函數(shù)值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值