【文章內容簡介】 7 ∴ bn=20xx(107) 21?n 。數列 {bn}是一個遞減的正數數列， 對每個自然數 n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。 于是當 bn≥ 1 時， BnBn－ 1，當 bn1 時， Bn≤ Bn－ 1， 因此數列 {Bn}的最大項的項數 n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21?n ≥ 1 得： n≤ 20。 ∴ n=20。 點評：本題題設從函數圖像入手，體現數形結合的優(yōu)越性，最終還是根據 函數性質結合數列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。 例 16． 已知函數 1,0)((l o g)( ???? aaxaxxf a 為常數） （ 1）求函數 f(x)的定義域； （ 2）若 a=2，試根據單調性定義確定函數 f(x)的單調性。 （ 3）若函數 y=f(x)是增函數，求 a 的取值范圍。 解： （ 1）由 axxxax ??? 得0 ∵ a＞ 0， x≥ 0 222 10 axxaxx ????? ??? ∴ f(x)的定義域是 ),1(2 ??? ax。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數。 第 14 頁 共 29 頁 （ 3）設 1121221 ???? xaxaaxx 則 0]1)()[()()()()( 212121212211 ????????????? xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax ???? ① ∵ f(x)是增函數， ∴ f(x1)＞ f(x2) 即 )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa ??? ② 聯立①、②知 a＞ 1， ∴ a∈ (1， +∞ )。 點評： 該題屬于純粹的研究復合對函數性質的問題，我們抓住對數函數的特點，結合一般函數求定義域、單調性的解題思路，對“路”處理即可。 題型 9：課標創(chuàng)新題 例 17． 對于在區(qū)間 ? ?nm, 上有意義的兩個函數 f(x)與 g(x)，如果對任意的 ?x ? ?nm, ，均有 1)()( ?? xgxf ，則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是接近的，否則稱 f(x)與 g(x)在 ? ?nm, 上是非接近的，現有兩個函數 )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a，給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 。 （ 1）若 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上都有意義，求 a 的取值范圍； （ 2）討論 )(1xf 與 )(2 xf 在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是否是接近的。 解：（ 1）兩個函數 )3(lo g)(1 axxf a ?? 與 )1,0(1log)(2 ???? aaaxxf a在給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 有意義，因為函數 axy 3?? 給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上單調遞增，函數在axy ?? 1給定區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上恒為正數， 故有意義 當且僅當 1003)2(10?????????????aaaaa ； （ 2）構造函數 )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a ????? ， 第 15 頁 共 29 頁 對于函數 )3)(( axaxt ??? 來講， 顯然其在 ]2,( a?? 上單調遞減，在 ),2[ ??a 上單調遞增。 且 ty alog? 在其定義域內一定是減函數。 由于 10 ??a ，得 2220 ???? aa 所以原函數在區(qū)間 ]3,2[ ?? aa 內單調遞減，只需保證 ??? ???? ???? 1|)23(3log||)3(| 1|)1(4log||)2(| aaF aaFaa ?????????????aaaaa1)23(31)1(4 當125790 ??? a時， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是接近的； 當12579??a時， )(1xf 與 )(2 xf 在區(qū)間 ? ?3,2 ?? aa 上是非接近的。 點評： 該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數式的函數的是否“接近”進行研究，轉化成含有對數因式的不等式問題，解不等式即可。 例 18．設 1x? ， 1y? ，且 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?，求 224T x y?? 的最小值 。 解：令 logxty? ， ∵ 1x? ， 1y? ，∴ 0t? 。 由 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?得 22 3 0tt? ? ?，∴ 22 3 2 0tt? ? ? ， ∴ (2 1)( 2) 0tt? ? ?，∵ 0t? ，∴ 12t?，即 1log2x y?，∴ 12yx? ， ∴ 2 2 2 24 4 ( 2) 4T x y x x x? ? ? ? ? ? ?， 第 16 頁 共 29 頁 ∵ 1x? ，∴當 2x? 時， min 4T ?? 。 點評：對數函數結合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學生的變形能力。 五．思維總結 1． bNNaaN abn ??? lo g, （其中 1,0,0 ??? aaN ）是同一數量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算 .在運算中，根式常?；癁橹笖凳奖容^方便，而對數式一般應化為同應化為同底； 2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 項、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗； 3．解決含指數式或對數式的各種問題，要熟練運用指數、對數運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數與對數函數的性質，其中單調性是使用率比較高的知識； 4．指數、對數函數值的變化特點（上面知識結構表中的 12 個小點）是解決含指數、對數式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數、對數的特殊值共同分析； 5．含有參數的指數、對數函數的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分類； 6．在學習中含有指數、對數的復合函數問題大多數都是以綜合形式出現，如與其它函數（特別是二次函數）形成的復合函數問題，與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。 普通高中課程標準實驗教科書 — 數學 [人教版 ] 高三新 數學 第一輪復習教案（講座 3） — 函數的基本性質 一．課標要求 1． 通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義； 2． 結合具體函數，了解奇偶性的含義 ； 二．命題走向 從近幾年來看，函數性質是高考命題的主線索，不論是何種函數，必須與函數性質相關聯，因此在復習中，針對不同的函數類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。 預測 20xx 年高考的出題思路是：通過研究函數的定義域、值域，進而研究函數的單調性、奇偶性以及最值。 預測明年的對本講的考察是： （ 1）考察函數性質的選擇題 1 個或 1 個填空題，還可能結合導數出研究函數性質的大題； （ 2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數的性質，以組合形式、一題多角度第 17 頁 共 29 頁 考察函數性質預計成為新的熱點。 三．要點精講 1．奇偶性 （ 1）定義：如果對于函 數 f(x)定義域內的任意 x 都有 f(－ x)=－ f(x)，則稱 f(x)為奇函數；如果對于函數 f(x)定義域內的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，則稱 f(x)為偶函數。 如果函數 f(x)不具有上述性質，則 f(x)不具有奇偶性 .如果函數同時具有上述兩條性質，則 f(x)既是奇函數，又是偶函數。 注意： ○ 1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質； ○ 2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，則－ x 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。 （ 2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： ○ 1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關系； ○ 3 作出相應結論： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數。 （ 3）簡單性質： ①圖象的對稱 性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于 y 軸對稱； ② 設 ()fx， ()gx 的定義域分別是 12,DD，那么在它們的公共定義域上： 奇 +奇 =奇，奇 ?奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 ?偶 =偶，奇 ?偶 =奇 2．單調性 （ 1）定義：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內的某個區(qū)間D 內的任意兩個自變量 x1， x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數（減函數）； 注意： ○ 1 函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質； ○ 2 必須是對于區(qū)間 D 內的任意兩個自變量 x1， x2；當 x1x2時，總有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函數 y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數 y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間 D 叫做 y=f(x)的單調區(qū)間。 （ 3）設復合函數 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定義域的某個區(qū)間， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數， y= f(u)在 B 上也是增（或減）函數，則函數y= f[g(x)]在 A 上是增函數； ②若 u=g(x)在 A 上是增（或減）函數，而 y= f(u)在 B 上是減（或增）函數，則函數y= f[g(x)]在 A 上是減函數。 （ 4）判斷函數單調性的方法步驟 第 18 頁 共 29 頁 利用定義證明函數 f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調性的一般步驟： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負）； ○ 5 下結論（即指出函數 f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調性）。 （ 5）簡單性質 ①奇函數 在其對稱區(qū)間上的單調性相同； ②偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反； ③在公共定義域內： 增函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是增函數； 減函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是減函數； 增函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是增函數； 減函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是減函數 。 3．最值 （ 1）定義： 最大值：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果存在實數 M 滿足：①對于任意的x∈ I，都有 f(x)≤ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果存在實數 M 滿足：①對于任意的x∈ I，都有 f(x)≥ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數 y=f(x)的最大值。 注意： ○ 1 函數最大（?。┦紫葢撌悄?一個函數值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函數最大（小）應該是所有函數值