【正文】 。 點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。 題型 3：指數(shù)、對數(shù)方程 例 5． 設(shè)關(guān)于 x 的方程 ???? ? bbxx (024 1 R） ， （ 1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù) b 的取值范圍； （ 2）當(dāng)方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。 解：（ 1）原方程為 124 ??? xxb ， 11)12(22)2(24 221 ????????? ? xxxxx? ， ),1[ ????? b當(dāng) 時方程有實數(shù)解； （ 2）①當(dāng) 1??b 時， 12?x ，∴方程有唯一解 0?x ； ②當(dāng) 1??b 時， bb xx ??????? 1121)12( 2? . bb xx ???????? 112,011,02? 的解為 )11(lo g 2 bx ??? ； 第 8 頁 共 29 頁 令 ,0111011 ?????????? bbb bb x ??????? 112,01 時當(dāng) 的解為 )11(lo g 2 bx ?? ； 綜合①、②，得 1）當(dāng) 01 ??? b 時原方程有兩解： )11(lo g 2 bx ??? ； 2）當(dāng) 10 ??? bb 或 時，原方程有唯一 解 )11(lo g 2 bx ??? ； 3）當(dāng) 1??b 時，原方程無解。 點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗。 例 6．（ 20xx 遼寧 文 13） 方程 22log ( 1 ) 2 log ( 1 )xx? ? ? ?的解為 。 解：考察對數(shù)運算。原方程變形為 2)1(l o g)1(l o g)1(l o g 2222 ?????? xxx ，即412 ??x ，得 5??x 。且??? ?? ?? 01 01xx有 1?x 。從而結(jié)果為 5 。 點評：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。 題型 4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例 7． 設(shè) 1232 , 2( ) ( ( 2 ) )l o g ( 1 ) 2 .xexf x f fxx???? ? ????＜ ， 則 的 值 為，（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解： C； 1)12(lo g)2( 23 ???f ，eeff 22))2(( 10 ?? ?。 點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。 例 8．已知 )1,0()( l o g 1 ???? ? aaxxxf a 且試求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間。 解：令 txa ?log ，則 x= ta ， t∈ R。 所以 taatf ????)( 即 xx aaxf ???)( ，（ x∈ R）。 因為 f(－ x)=f(x)，所以 f(x)為偶函數(shù)，故只需討論 f(x)在 [0， +∞）上的單調(diào)性。 任取 1x ， 2x ，且使 210 xx ?? ，則 )()( 12 xfxf ? 第 9 頁 共 29 頁 )()( 1122 xxxx aaaa ?? ???? 212121 )1)((xxxxxx a aaa? ???? （ 1 ）當(dāng) a1 時 ，由 210 xx ?? ，有 210 xx aa ?? ， 121 ??xxa ，所以0)()( 12 ?? xfxf ，即 f(x)在 [0， +∞ ]上單調(diào)遞增。 （ 2 ）當(dāng) 0a1 時，由 210 xx ?? ，有 210 xx aa ?? ， 121 ??xxa ，所以0)()( 12 ?? xfxf ，即 f(x)在 [0， +∞ ]上單調(diào)遞增。 綜合所述， [0， +∞ ]是 f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（－∞， 0）是 f(x)的單調(diào)區(qū)間。 點評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分 10,1 ??? aa 兩種情況來處理。 題型 5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用 例 9． 若函數(shù) my x ?? ? |1|)21(的圖象與 x 軸有公共點，則 m 的取 值范圍是（ ） A． m≤－ 1 B．－ 1≤ m0 C． m≥ 1 D． 0m≤ 1 解：????????????)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx? ， 畫圖象可知－ 1≤ m0。 答案為 B。 點評：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是1,0,1 ?? aa 兩種情況下函數(shù) xay? 的圖像特征。 例 10．設(shè)函數(shù) xxfxf xx 22)(,2)( |1||1| ?? ??? 求使的取值范圍。 解：由于 2xy? 是增函數(shù)， ( ) 2 2fx? 等價于 3| 1 | | 1 |2xx? ? ? ? ① 1)當(dāng) 1x? 時， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ?， ?①式恒成立； 2)當(dāng) 11x? ? ? 時， | 1 | | 1 | 2x x x? ? ? ?， ①式化為 322x?，即 3 14 x??； 3)當(dāng) 1x?? 時， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ? ?， ①式無解； 綜上 x 的取值范圍是 3,4????????。 第 10 頁 共 29 頁 點評：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。 題型 6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例 11．（ 1） 函數(shù) 2log 2 ?? xy 的定義域是（ ） A． ),3( ?? B． ),3[ ?? C． ),4( ?? D． ),4[ ?? （ 2）（ 20xx 湖北）設(shè) f(x)＝xx??22lg，則 )2()2( xfxf ?的定義域為（ ） A． ），（），（－ 4004 ? B． (－ 4,－ 1)? (1， 4) C． (－ 2,－ 1)? (1， 2) D． (－ 4,－ 2)? (2， 4) 解：（ 1） D（ 2） B。 點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應(yīng)法則的對應(yīng)關(guān)系。 例 12． 對于 )32(log)(221 ??? axxxf， （ 1）函數(shù)的“定義域為 R”和“值域為 R”是否是一回事； （ 2）結(jié)合“實數(shù) a 的取何值時 )(xf 在 ),1[ ??? 上有意義”與“實數(shù) a 的取何值時函數(shù)的定義域為 ),3()1,( ????? ”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別； （ 3）結(jié)合（ 1）（ 2）兩問，說明實數(shù) a 的取何值時 )(xf 的值域為 ]1,( ??? （ 4）實數(shù) a 的取何值時 )(xf 在 ]1,(?? 內(nèi)是增函數(shù)。 解：記 22 3)()( aaxxg ?????? ，則 ?21log)( ?xf； （ 1）不一樣； 定義域為 R? 0)( ?xg 恒成立。 得： 0)3(4 2 ???? a ，解得實數(shù) a 的取值范圍為 )3,3(? 。 值域為 R： ?21log值 域為 R ?? 至少取遍所有的正實數(shù)， 則 0)3(4 2 ???? a ，解得實數(shù) a 的取值范圍為 ),3[]3,( ?????? 。 （ 2）實數(shù) a 的取何值時 )(xf 在 ),1[ ??? 上有意義： 第 11 頁 共 29 頁 命題等價于 0)( ?? xg? 對于任意 ),1[ ????x 恒成立， 則??? ???? 0)1( 1ga或??? ???? 03 12aa ， 解得實數(shù) a 得取值范圍為 )3,2(? 。 實數(shù) a 的取何值時函數(shù)的定義域為 ),3()1,( ????? ： 由已知得二次不等式 0322 ??? axx 的解集為 ),3()1,( ????? 可得 a231 ?? ，則a=2。故 a 的取值范圍為 {2}。 區(qū)別：“有意義問題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問題”來解決（這里轉(zhuǎn)化成了解集問 題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值） （ 3）易知 )(xg 得值域是 ),2[ ?? ，又 )(xg 得值域是 ),3[ 2 ???a ， 得 123 2 ????? aa ，故 a 得取值范圍為 {－ 1， 1}。 （ 4）命題等價于 )(xg 在 ]1,(?? 上為減函數(shù)，且 0)( ?xg 對任意的 ]1,(???x 恒成立，則??? ?? 0)1( 1ga，解得 a 得取值范圍為 )2,1[ 。 點評：該題主要考察復(fù)合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價，同時又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過程中結(jié)合三個“二次”的重要結(jié)論來進(jìn)行處理。 題型 7：對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 例 13． 當(dāng) a1 時，函數(shù) y=logax 和 y=(1－ a)x 的圖象只可能是 ( ) A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx 解：當(dāng) a1 時，函數(shù) y=logax 的圖象只能在 A 和 C 中選， 又 a1 時， y=(1－ a)x 為減函數(shù)。 答案： B 點評：要正確識別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。 第 12 頁 共 29 頁 例 14． 設(shè) A、 B 是函數(shù) y= log2x 圖象上兩點 , 其橫坐標(biāo)分別為 a 和 a+4, 直線 l: x=a+2與函數(shù) y= log2x 圖象交于點 C, 與直線 AB 交于點 D。 （ 1）求點 D 的坐標(biāo)； （ 2）當(dāng)△ ABC 的面積大于 1 時 , 求實數(shù) a 的取值范圍。 解： （ 1）易知 D 為線段 AB 的中點 , 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點公式得 D(a+2, log2 )4( ?aa )。 （ 2） S△ ABC=S 梯形 AA′ CC′ +S 梯形 CC′ B′ B S 梯形 AA′ B′ B=? = log2)4( )2(2??aaa, 其中 A′ ,B′ ,C′為 A,B,C在 x 軸上的射影。 由 S△ ABC= log2)4( )2(2??aaa1, 得 0 a2 2 － 2。 點評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。 題型 8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題 例 15． 在 xOy 平面上有一點列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),? ,Pn(an,bn)?，對每個自然數(shù) n 點Pn 位于函數(shù) y=20xx(10a)x(0a1)的圖象上，且點 Pn,點 (n,0)與點 (n+1,0)構(gòu)成一個以 Pn 為頂點的等腰三角形。 (1)求點 Pn的縱坐標(biāo) bn的表達(dá)式； (2)若對于每個自然數(shù) n，以 bn,bn+1,bn+2為邊長能 構(gòu)成一個三角形，求 a 的取值范圍； (3)設(shè) Cn=lg(bn)(n∈ N*),若 a 取 (2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列 {Cn}前多少項的和最大？試說明理由。 解： (1)由題意知： an=n+21,∴ bn=20xx(10a) 21?n 。 (2)∵函數(shù) y=20xx(10a)x(0a10)遞減， ∴對每個自然數(shù) n,有 bnbn+1bn+2。 則以 bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 ∴ 5( 5 － 1)a10。 第 13 頁 共 29 頁 (3)∵ 5( 5 － 1)a10，∴ a=