【正文】 m ? 異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的 0)(],1[ 22 ???? ? xfmemx m 使 故當(dāng) m1 時(shí)，方程 f(x)=0 在 ],[ 2 meme mm ??? 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。 解析：（ 1）函數(shù) f(x)=x－ ln(x+m),x∈ (－ m,+∞ )連續(xù)，且 mxxfmxxf ?????? 1,0)(,11)( 39。 題型 2：零點(diǎn)存在性定理 例 3．（ 20xx 廣東 21） 設(shè)函數(shù) ( ) ln( )f x x x m? ? ?， 其中常數(shù) m 為整數(shù)。 (II)由 )14()4()14()( )4()()7()7( )2()2( xfxfxfxf xfxfxfxf xfxf ??????? ?? ?????? ??? ??? )10()( ??? xfxf (III) 又 0)9()7()13()11(,0)0()3( ???????? ffffff 故 f(x)在 [0,10]和 [－ 10,0]上均有有兩個(gè)解 ,從而可知函數(shù) )(xfy? 在 [0,20xx]上有 402 個(gè)解 ,在 [－ ]上有 400 個(gè)解 ,所以函數(shù) )(xfy? 在 [－ 20xx,20xx]上有 802個(gè)解。 （Ⅰ）試判斷函數(shù) ()y f x? 的奇偶性； x0321321oyx創(chuàng)造的有高級(jí)的圖表的試驗(yàn)版本 25?xay?第 5 頁(yè) 共 30 頁(yè) （Ⅱ）試求方程 ()fx=0 在閉區(qū)間［－ 20xx， 20xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算 0x 的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷 。 本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程 lgx+x=3 解所在的區(qū)間 。 （ 2） 原方程等價(jià)于?????????????????xaxxxaxx)3)(1(00301 即??? ?? ???? 31 352x xxa 構(gòu)造函數(shù) )31(352 ?????? xxxy 和 ay? ，作出它們的圖像，易知平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得： ①當(dāng) 31 ??a 或 413?a 時(shí)，原方程有一解； ②當(dāng) 4133 ??a 時(shí)，原方程有兩解； ③當(dāng) 1?a 或 413?a 時(shí)，原方程無(wú)解。 當(dāng)x=2 時(shí)， lgx=lg2， 3x=1。 它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo) 0x ，顯然在區(qū)間 (1， 3)內(nèi)，由此可排除 A， D新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/至于選 B 還是選 C，由于畫(huà)圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了 。 四．典例解析 題型 1：方程的根與函數(shù)零點(diǎn) 例 1．（ 1）方程 lgx+x=3 的解所在區(qū)間為 （ ） A． (0， 1) B． (1， 2) C． (2， 3) D． (3， +∞ ) 第 4 頁(yè) 共 30 頁(yè) （ 2）設(shè) a 為常數(shù)，試討論方程 )lg ()3lg ()1lg ( xaxx ????? 的實(shí)根的個(gè)數(shù)。0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb ④二次方程 f(x)=0 在區(qū)間 (p， q)內(nèi) 只有一根 ? f(p) ①方程 f(x)=0 的兩根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ? a 若－ab2p，則 f(p)=m， f(q)=M； 若 p≤－ab2x0，則 f(－ab2)=m， f(q)=M； 若 x0≤－ab2q，則 f(p)=M， f(－ab2)=m； 若－ab2≥ q，則 f(p)=M， f(q)=m。 3． 二次函數(shù)的基本性質(zhì) （ 1）二次函數(shù)的三種表示法 ： y=ax2+bx+c； y=a(x－ x1)(x－ x2)； y=a(x－ x0)2+n。 注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件 )(af )(bf 0 ，則令 a = 1x （此時(shí)零點(diǎn) ),( 10 bxx ? ）； （ 4）判斷是否達(dá)到精度 ? ； 即若 ??? || ba ，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值 a （或 b ）；否則重復(fù)步驟 2~4。 )(bf 0? ，給定精度 ? ； （ 2）求區(qū)間 a( ， )b 的中點(diǎn) 1x ； （ 3）計(jì)算 )(1xf ： ①若 )(1xf =0 ，則 1x 就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若 )(af 二分法及步驟： 對(duì)于在區(qū)間 a[ ， ]b 上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足 )(af 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 0)()( ?bfaf ，那么函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)有零點(diǎn)。即：方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)。 三．要點(diǎn)精講 1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) （ 1）函數(shù)零點(diǎn) 概念：對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使 0)( ?xf 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù)))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 預(yù)計(jì) 20xx 年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來(lái)考察學(xué)生的能力。從近幾年高考的形勢(shì)來(lái)看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元 二次不等式）的考察力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。第 1 頁(yè) 共 30 頁(yè) 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 6） — 函數(shù)與方程 一．課標(biāo)要求： 1． 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 ； 2． 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 二．命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會(huì)是高考的考點(diǎn)。高考試題中有近一半的試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān)。 （ 1）題型可為選擇、填空和解答； （ 2）高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合題，同時(shí)考察函數(shù)方程的思想。 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程 0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù))(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy 的零點(diǎn)： １）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)； ２）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí) 根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)； 第 2 頁(yè) 共 30 頁(yè) ３）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。既存在 ),( bac? ，使得 0)( ?cf ，這個(gè) c 也就是方程的根。 )(bf 0? 的函數(shù) )(xfy? ，通過(guò)不斷地把函數(shù) )(xf 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 給定精度 ? ，用二分法求函數(shù) )(xf 的零點(diǎn)近似值的步驟如下： （ 1）確定區(qū)間 a[ ， ]b ，驗(yàn) 證 )(af )(1xf 0 ，則令 b = 1x （此時(shí)零點(diǎn) ),( 10 xax ? ）； ③若 )(1xf 注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì) 從“數(shù)”的角度看：即是使 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù) )(xf 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 第 3 頁(yè) 共 30 頁(yè) 若函數(shù) )(xf 的圖象在 0xx? 處與 x 軸相切，則零點(diǎn) 0x 通常稱(chēng)為不變號(hào)零點(diǎn)； 若函數(shù) )(xf 的圖象在 0xx? 處與 x 軸相交，則零點(diǎn) 0x 通常稱(chēng)為變號(hào)零點(diǎn)。 )(bf 0? 表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。 （ 2）當(dāng) a0， f(x)在區(qū)間［ p， q］上的最大值 M，最小值 m，令 x0=21 (p+q)。 （ 3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的實(shí)根分布及條件 。 f(r)0； ②二次方程 f(x)=0 的兩根都大于 r????????????????0)(,2,042rfarabacb ③二次方程 f(x)=0 在區(qū)間 (p， q)內(nèi)有兩根?????????????????????。 f(q)0，或 f(p)=0(檢驗(yàn) )或 f(q)=0(檢驗(yàn) )檢驗(yàn)另一根若在 (p， q)內(nèi)成立 。 解析： （ 1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函 數(shù) y=lgx 與 y=x+3的圖象 (如圖 )。 實(shí)際上這是要比較 0x 與 2 的大小 。由于 lg2＜ 1，因此 0x ＞ 2，從而判 定 0x ∈ (2， 3)，故本題應(yīng)選C。 點(diǎn)評(píng)：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。 數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫 。 例 2．（ 20xx 廣東 19） 設(shè)函數(shù) ()fx 在 ( , )???? 上滿(mǎn)足 (2 ) (2 )f x f x? ? ?，(7 ) (7 )f x f x? ? ?，且在閉區(qū)間［ 0， 7］上，只有 (1) (3) 0ff??。 解析：由 f(2－ x)=f(2+x),f(7－ x)=f(7+x)得函數(shù) )(xfy? 的對(duì)稱(chēng)軸為 72 ?? xx 和 , 從而知函數(shù) )(xfy? 不是奇函數(shù) , 由 )14()4()14()( )4()()7()7( )2()2( xfxfxfxf xfxfxfxf xfxf ??????? ?? ?????? ??? ??? )10()( ??? xfxf ,從而知函數(shù) )(xfy? 的周期為 10?T 又 0)7(,0)0()3( ??? fff 而,故函數(shù) )xfy? 是非奇非偶函數(shù) 。 點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程注重了函 數(shù)的數(shù)字特征“ (1) (3) 0ff??”，即函數(shù)的零點(diǎn)，也就是方程的根。 （ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)， ( ) 0fx? ； （ 2） 定理：若函數(shù) ()gx 在 [, ]ab 上連續(xù)，且 ()ga 與 ()gb 異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)0 ( , )x ab? ，使得 0( ) 0gx? 試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù) 1m? 時(shí)，方程 ( ) 0fx? 在 2,mme m e m???????內(nèi)有兩個(gè)第 6 頁(yè) 共 30 頁(yè) 實(shí)根。39。 點(diǎn)評(píng)：本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理。 例 4．若函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 [a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是 （ ） A． 若 0)()( ?bfaf ，不存在實(shí)數(shù) ),( bac? 使得 0)( ?cf ； B． 若 0)()( ?bfaf ，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù) ),( bac? 使得 0)( ?cf ； C． 若 0)()( ?bfaf ，有可能存在實(shí)數(shù) ),( bac? 使得 0)( ?cf ； 第 7 頁(yè) 共 30 頁(yè) D． 若 0)()( ?bfaf ，有可能不存在實(shí)數(shù) ),( bac? 使得 0)( ?cf ； 解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng) D 不正確；對(duì)于選項(xiàng) B，可通過(guò)反例“ )1)(1()( ??? xxxxf 在區(qū)間 ]2,2[? 上滿(mǎn)足 0)2()2( ?? ff ，但其存在三個(gè)解}1,0,1{? ”推翻；同時(shí)選項(xiàng) A 可通過(guò)反例“ )1)(1()( ???