【正文】 點(diǎn)評：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題即可。 冪函數(shù)有如下性質(zhì)： ⑴它的 圖象都過（ 1， 1）點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交； ⑵定義域?yàn)?R 或 （ ， ） （ ， ）? ? ? ?0 0?的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)? ?R ? ??或 ，0 的冪函數(shù)都不具有奇偶性； ⑶冪函數(shù) y x? ?? ?( )0 都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng) ??0 時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)??0 時(shí)為增函數(shù)； ⑷任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)（ 1， 1），至多有三個(gè)公共點(diǎn)； 四．典例解析 題型 1：作圖 例 1．（ 06 重慶 理） 如圖所示，單位圓中弧 AB 的長為 x,f(x)表示弧 AB 與弦 AB 所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù) y=f(x)的圖象是（ ） A B C D 第 5 頁 共 32 頁 解析：顯然當(dāng)2??x時(shí)，陰影部分的面積等于41圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，22 2)214(2)2( ???? ?????f，即點(diǎn) )22,2( ???在直線 xy? 的下方，故應(yīng)在 C、 D 中選擇。 f(x)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/y=f(x) ax?? y=f(ax ) （ 3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面 。 y=f(x) xy??直線 x=f(y) Ⅴ、 函數(shù) )2( xafy ?? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于直線 ax? 對稱即可第 3 頁 共 32 頁 得到 ； y=f(x) ax??直線 y=f(2a?x)。 （ 2）三 種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等 ； ①平移變換： Ⅰ、水平平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向左 ( 0)a? 或向右 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即可得到 ； 1） y=f(x) h左移? y=f(x+h)； 2） y=f(x) h右移? y=f(x?h)； Ⅱ、豎直平移：函數(shù) ()y f x a??的圖像可以把函數(shù) ()y f x? 的圖像沿 x 軸方向向上 ( 0)a? 或向下 ( 0)a? 平移 ||a 個(gè)單位即 可得到 ； 1） y=f(x) h上移? y=f(x)+h； 2） y=f(x) h下移? y=f(x)?h新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/。 運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究 。 從歷年高考形勢來看： （ 1）與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換 、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力， 會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題 ； （ 2）函數(shù)綜合問題多以知識交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來考察； （ 3）與冪函數(shù)有關(guān)的問題主要以 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問題； 預(yù)測 07 年高考函數(shù)圖象：（ 1）題型為 1 到 2 個(gè)填空選擇題；（ 2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問題等方面出題； 函數(shù)綜合問題：（ 1）題型為 1 個(gè)大題；（ 2）題目多 以知識交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用； 冪函數(shù)：單獨(dú)出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應(yīng)用其性質(zhì)來解決； 三．要點(diǎn)精講 1．函數(shù)圖象 （ 1）作圖方法： 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本 講座 的重點(diǎn) 。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)一些綜合性問題； 4． 通過實(shí) 例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù) 21132 , xyxyxyxyxy ????? ?的圖像，了解它們的變化情況 。第 1 頁 共 32 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 5） — 函數(shù)圖象及數(shù)字特征 一．課標(biāo)要求： 1．掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2．掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3．識圖與作圖：對于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。 二．命題走向 函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識占有極其重要的地位。知識覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。 作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性第 2 頁 共 32 頁 質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象 。 而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換 ， 這也是個(gè)難點(diǎn) 。 ②對稱變換： Ⅰ、函數(shù) ()y f x??的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 y 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸y? y=f(?x) Ⅱ、函數(shù) ()y f x?? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于 x 軸對稱即可得到 ； y=f(x) 軸x? y= ?f(x) Ⅲ、函數(shù) ()y f x?? ? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得到 ； y=f(x) 原點(diǎn)? y= ?f(?x) Ⅳ、函數(shù) )(yfx? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像關(guān)于直線 yx? 對稱得到 。 ③ 翻折變換： Ⅰ、函數(shù) | ( )|y f x? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像的 x 軸下方部分沿 x 軸翻折到 x 軸上方，去掉原 x 軸下方部分，并保留 ()y f x? 的 x 軸上方部分即可得到 ； y=f(x)cba oyx y=|f(x)|cba oyx Ⅱ、函數(shù) (| |)y f x? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像右邊沿 y 軸翻折到 y 軸左邊替代原 y 軸左邊 部分并保留 ()y f x? 在 y 軸右邊部分即可得到新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ y=f(x)cba oyx y=f(|x|)cba oyx ④伸縮變換： Ⅰ、函數(shù) ()y af x? ( 0)a? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長 ( 1)a? 或壓縮（ 01a??）為原來的 a 倍得到； y=f(x) ay?? y=af(x) Ⅱ、函數(shù) ()y f ax? ( 0)a? 的圖像可以將函數(shù) ()y f x? 的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長 ( 1)a? 或 壓縮（ 01a??）為原來的 1a倍得到。 2．冪函數(shù) y x? ?? ?( , )0 1在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類： ??1 0 1? ?? ??0 第 4 頁 共 32 頁 圖 在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)y x? ? 中 ? 限于在集合 ? ? ???? ???2 1 12 13 12 1 2 3， ， ， ， ， ， ，中取值。而當(dāng)當(dāng)2??x時(shí)，陰影部分的面積等于41圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，232 23)2 2(2)23( ????? ??????f，即點(diǎn))2 23,23( ??? 在直線 xy? 的上方，故應(yīng)選擇 D。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個(gè) 關(guān)系； 例 2． （ 1996 上海，文、理 8）在下列圖象中，二次函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù) y=（ ab ）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出 0ab 1。 解析二：求 y=ax2+bx 與 x 軸的交點(diǎn)，令 ax2+bx=0，解得 x=0 或 x=－ ab ，而－ 1－ ab 0。 點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，源于課本，考查基本知識，難度不大。 題型 2：識圖 第 6 頁 共 32 頁 例 3．（ 06 江西 12） 某地一年內(nèi)的氣溫 ()Qt (單位：℃ )與時(shí)間 t (月份 )之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為 10℃，令 ()Ct 表示時(shí)間段 ? ?0,t 的平均氣溫， ()Ct 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示，則正確的應(yīng)該是（ ） 解析：平均氣溫 10℃與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可知兩交點(diǎn)的兩側(cè)都低于平均氣溫， 而中間高于平均氣溫。 答案 A。 例 4． （ 20xx 上海文，理 16）一般地，家庭用電量（千瓦時(shí)）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系，如圖 2— 1 所 示，圖（ 1）表示某年 12 個(gè)月中每月的平均氣溫 .圖（ 2）表示某家庭在這年 12 個(gè)月中每個(gè)月的用電量 .根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（ ） 圖 A．氣溫最高時(shí)，用電量最多 B．氣溫最低時(shí)，用電量最少 C．當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加 D．當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫漸低而增加 解析：經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)， 2 月份用電量最多，而 2 月份氣溫明顯不是最高。同理可判斷出 B 項(xiàng)錯(cuò)誤。 點(diǎn)評：該題考查對圖表表達(dá)的函數(shù)的識別和理解能力，要從題目解說入手，結(jié)合圖像和實(shí)際解決問題。 解析二：可利用特殊值法，取 x=0，此時(shí) y=1，取 x=2，此時(shí) y=0。 點(diǎn)評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實(shí)際問題?，F(xiàn)將 )(xgy? 的圖象沿 x 軸向左平移 2 個(gè)單位，再沿 y 軸向上平移 1 個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖 2 所示），則函數(shù) )(xf 的表達(dá)式為（ ） A．????????????? 20,2201,22)( xxxxxf B．????????????? 20,2201,22)( xxxxxf 第 8 頁 共 32 頁 C．???????????? 42,1221,22)( xxxxxf D．???????????? 42,3221,62)( xxxxxf 解析：原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線段組成，折線段的端點(diǎn)（－ 2， 0）、（ 0， 1）、（ 1， 3）向下平移 1 個(gè)單位是端點(diǎn)（－ 2，－ 1）、（ 0， 0）、（ 1， 2），再向右平移 2 個(gè)單位端點(diǎn)為（ 0，－ 1）、（ 2， 0）、（ 3， 2），關(guān)于直線 xy? 對稱后折線段端點(diǎn)為（－ 1， 0）、（ 0，2）、（ 2， 3）。 點(diǎn)評：該題是應(yīng)用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式。 題型 4：函數(shù)圖象應(yīng)用 例 7． 函數(shù) ()y f x? 與 ()y g x? 的圖像如下圖：則函數(shù) ( ) ( )y f x g x??的圖像可能是（ ） y=f(x)oyxy=g(x)oyx oyxoyxoyxoy