圓錐曲線中點弦問題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的端點A、B在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。解法1：利用點差法。設端點為A，B，則，兩式相減得， ①①式兩邊同時除以，得， ②設弦的中點坐標為，則， ③又點和點在直線AB上，所以有。 ④將③、④代入②得， 整理得。故得中點的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。解法2：設弦AB所在直線的方程為，由方程組 消去并整理得， （3）設A、B、中點，對于方程（3），由根與系數(shù)的關系，有，∴代入（1）得故得所求弦中點的軌跡方程是在拋物線內(nèi)部的部分。評注：（1）求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關于，的關系式，進而求出軌跡的方程。（2）弦中點軌跡問題設拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點C，則有，（1）－（2）得，∴，將，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點的關系，要學會推導，并能運用。例2 已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點軌跡方程。解：如圖，設弦AB的中點為M，并設A、B、M點坐標分別為，，根據(jù)題意設有， ①， ②， ③， ④， ⑤④代入①－②得，∵，∴， ⑥⑥代入⑤得，即。評注：本題還有其他解答方法，如設AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關系，求出弦中點的軌跡方程。例6 求直線被拋物線截得線段的中點坐標。解：解法一：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，消去y得，即，所以，即中點坐標為。解法二：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標為。用點差法
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