第30－34課時(shí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法(編輯修改稿)
2025-04-21 06:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時(shí)， m0， m0，② 或 g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0 m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.說(shuō)明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 4．（2004年高考天津卷文科（21））已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值.(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值；(II)證明對(duì)任意不等式恒成立. (I) 解：由奇函數(shù)定義，應(yīng)有.即 因此， 由條件 為的極值，必有故 解得 因此， 當(dāng) 時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).當(dāng) 時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù).當(dāng) 時(shí)，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).所以，在處取得極大值，極大值為(II)解：由(I)知，是減函數(shù)，且在上的最大值在上的最小值所以，對(duì)任意恒有 說(shuō)明：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.5．（2004年高考全國(guó)卷Ⅱ理科（22））已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值；（Ⅱ）設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)2g()(ba)ln2. （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)? 令 當(dāng) 當(dāng) 又 故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得最大值，最大值為0. （Ⅱ）證法一： 由（Ⅰ）結(jié)論知由題設(shè) 因此 所以 又綜上 證法二：設(shè) 則 當(dāng) 在此內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)上為增函數(shù).從而，當(dāng)有極小值因此 即 設(shè) 則 當(dāng) 因此上為減函數(shù).因?yàn)?即 說(shuō)明：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)以及綜合推理論證的能力。 （Ⅲ）范例分析例1． 在處可導(dǎo)，則 思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解：（1） （2） 說(shuō)明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3．觀察，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證：∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)例4．（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程； （2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 解：（1）， ，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）（2）（3） （4）解：（1） 時(shí) ∴ ， （2） ∴ ，（3） ∴ ∴ ， ，（4） 定義域?yàn)? 例6．求證下列不等式（1） （2） （3） 證：（1） ∴ 為上 ∴ 恒成立∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立（2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用導(dǎo)數(shù)求和： （1）； （2）。 分析：這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷。 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)， ； 當(dāng)x≠1時(shí)， ∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 即 （2）∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。 令x=1得 ， 即。例8．求滿足條件的（1）使為上增函數(shù)（2）使為上……（3）使為上解：（1） ∴ 時(shí) 也成立 ∴ （2） 時(shí) 也成立 ∴ （3） 例9．（1）求證（2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立將各式相加 即 例10．（2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷，理工農(nóng)醫(yī)類19）） 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，
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