第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題(完整版)
【正文】 鍵是建立坐標系，合理選擇曲線模型，然后轉化為相應的數(shù)學問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識交匯題圓錐曲線經常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結合到一塊出現(xiàn)部分有較強區(qū)分度的綜合題。參數(shù)法：根據題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。要注意同解變形。三．要點精講1．曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標。但圓錐曲線在新課標中化歸到選學內容，要求有所降低，估計2007年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)}這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確。轉移代入法：這個方法又叫相關點法或坐標代換法。圓錐曲線的弦長求法：設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數(shù)關系，再利用代數(shù)方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍。（2）如圖，設點坐標各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點為，∵存在，∴由三角形重心坐標公式有，即 。所以△F1AB的面積最大值為cb。連PB，PF。解析：（1）依題意可設P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因為Q在橢圓上，所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 ?！郤△ABC的最大值是。解法2：令，則。（2）（06湖北理，20）設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x1，y1），N（x2，y2），則－2x12，－2x22，又MN的中點Q的坐標為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，∴，即y2＝ 又點M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡后可得－＝.從而，點B在以MN為直徑的圓內。解析：（1）解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=，從而b2=a2－c2=4，所以橢圓C的方程為＝1。,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標準方程為。五．思維總結1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質；2．復習時要突出“曲線與方程”這一重點內容曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，即在建立了平面直角坐標系后，根據曲線上點適合的共同條件找出動點P（x，y）的縱坐標y和橫坐標x之間的關系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時還要注意曲線上點具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應培養(yǎng)善于運用坐標法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標準形式，這時用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般可用直接法、間接代點法、參數(shù)法等求方程。除上述常用數(shù)學思想外，數(shù)形結合、分類討論、整體思想、構造思想也是不可缺少的思想方法，復習也應給予足夠的重視。3．重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量。題型4：知識交匯題例7．（06遼寧,20）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,(I)
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