圓錐曲線(xiàn)的范圍最值問(wèn)題-wenkub
2023-04-09 00:04:14 本頁(yè)面
【正文】 得∴ 將上式代入橢圓方程得：整理得：由知所以 【點(diǎn)評(píng)】確定橢圓方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件,從題中挖掘關(guān)于的等量關(guān)系；直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題,往往要善于利用韋達(dá)定理設(shè)而不求,利用點(diǎn)在橢圓上和向量式得,進(jìn)而求函數(shù)值域．【小試牛刀】【2017河南西平縣高級(jí)中學(xué)12月考】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．[來(lái)源:Z。網(wǎng)]令的方程為.聯(lián)立,得.,.由,得,解之得.由,得.令,則,于是.而上遞增,.于是.又,的取值范圍是.12．【2017屆貴州遵義南白中學(xué)高三上學(xué)期聯(lián)考四】如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)為,且離心率等于,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè),若直線(xiàn)與軸不重合,試求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,故,根據(jù)離心率是得,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．【2017屆福建連城縣二中高三上學(xué)期期中】設(shè)直線(xiàn)：與橢圓相交于,兩個(gè)不同的點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),記為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）證明：；（2）若,的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）依題意,直線(xiàn)顯然不平行于坐標(biāo)軸,故可化為,將代入,整理得,①由直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),得,化簡(jiǎn)整理即得．（*）將,及,這兩組值分別代入①,均可解出,經(jīng)驗(yàn)證,滿(mǎn)足（*）式．所以,的面積取得最大值時(shí)橢圓方程為．14．【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為,左右頂點(diǎn)分別為,．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和,求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（I）因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn),所以又所以所以橢圓方程為 （Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)無(wú)斜率時(shí),直線(xiàn)方程為,此時(shí), 面積相等, 當(dāng)直線(xiàn)斜率存在（顯然）時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,設(shè)和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉得顯然,方程有根,且 此時(shí) 因?yàn)?上式,（時(shí)等號(hào)成立）所以的最大值為 另解：（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為：,則由 得,．設(shè),則,．所以, 當(dāng)時(shí),．由,得 ．當(dāng)時(shí),從而,當(dāng)時(shí),取得最大值．,其離心率為,設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線(xiàn)與圓相切,求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（Ⅲ）以線(xiàn)段為鄰邊作平行四邊形,若點(diǎn)在橢圓上,且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）,將點(diǎn)代入,得,所求橢圓方程為．（Ⅱ）因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切,所以,即由,得．設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,則,所以==,所以==
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