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圓錐曲線中點弦問題-wenkub

2023-04-09 00:02:58 本頁面
　

【正文】 說明：當時，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點P的切線斜率公式，即） 推論1 設(shè)圓的弦AB的中點為P（，則。解法二：設(shè)直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標為。化簡可得 （）。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，又A、B兩點在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），則另一個交點為B(4)，因為A、B兩點在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。解法二：設(shè)弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ中點M的軌跡方程為 （）。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。（假設(shè)點P在圓上時，則過點P的切線斜率為） 推論2 設(shè)橢圓的弦AB的中點為P（，則。（假設(shè)點P在拋物線上，則過點P的切線斜率為我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。是圓不用中點法）例1 由點向拋物線引弦，求弦的中點的軌跡方程。 ④將③、④代入②得， 整理得。（2）弦中點軌跡問題設(shè)拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點C，則有，（1）－（2）得，∴，將，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點的關(guān)系，要學(xué)會推導(dǎo)，并能運用。例6 求直線被拋物線截得線段的中點坐標。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。
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