【正文】 1? 為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。 解析：（ 1）答案： x2－ 4y2＝ 1 設(shè) P（ x0， y0） ∴ M（ x， y） ∴ 2,2 00 yyxx ?? ∴ 2x＝ x0， 2y＝ y0 ∴ 442x － 4y2＝ 1? x2－ 4y2＝ 1 點(diǎn)評：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。 ∵ 1 0y? ， ∴ 0y? 。 （ 2） 雙曲線 2 2 19x y??有動點(diǎn) P ， 12,FF是曲線的兩個焦點(diǎn)，求 12PFF? 的重心 M的軌跡方程。 （ 2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法 。 2．圓錐曲線綜合問題 （ 1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題 通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾 何元素的最值問題。即利用動點(diǎn)是定曲線上的動點(diǎn)，另一動點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。 要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上 (即要注意方程變量的取值范圍 )。 “代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程 f(x,y)=0 常常用到一些公式。 (1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。 1．求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考察學(xué)生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力； 2．與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問題、靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。第 1 頁 共 35 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 35） — 曲線方程及圓錐曲線的綜合問題 一．課標(biāo)要求： 1． 由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練； 2． 通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想 ； 3． 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。 預(yù)測 07 年高考： 1．出現(xiàn) 1 道復(fù)合其它知識的圓錐曲線綜合題； 2．可能出現(xiàn) 1 道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出 現(xiàn)在解答題中間的小問。 (2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 “化”：化簡 化方程 f(x,y)=0 為最簡形式。 這五個步驟 (不包括證明 )可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn) (限 )代化” （ 2） 求曲線方程的常見方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來求解。 幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。 （ 3）實際應(yīng)用題 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓 錐曲線相關(guān)的實際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計、探照燈反光鏡的設(shè)計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計算等。 解析：（ 1）（法一）設(shè)動圓圓心為 ( , )Mx y ，半徑為 R ，設(shè)已知圓的圓心分別為 1O 、2O ， 將圓方程分別配方得： 22( 3) 4xy? ? ?， 22( 3) 100xy? ? ? ， 當(dāng) M 與 1O 相切時，有 1| | 2O M R?? ① 當(dāng) M 與 2O 相切時，有 2| | 10O M R?? ② 將 ① ② 兩 式 的 兩 邊 分 別 相 加 ， 得21| | | | 12O M O M??， 即 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y? ? ? ? ? ? ③ 移項再兩邊分別平方得： 222 ( 3 ) 1 2x y x? ? ? ? ④ 兩邊再平方得： 223 4 108 0xy? ? ?， 整理得 22136 27xy??， 所以，動圓圓心的軌跡方程是 22136 27xy??，軌跡是橢圓。 已知點(diǎn) P 在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有 2 2(3 ) (3 ) 1( 0 )9x yy? ? ? 即所求重心 M 的軌跡方程為： 229 1( 0)x y y? ? ?。 題型 2：圓錐曲線中最值和范圍問題 第 5 頁 共 35 頁 例 3．（ 1） 設(shè) AB 是過橢圓 xa yb a b22 22 1 0? ? ? ?( )中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為F c1 0( )? ， ，則△ F1AB 的面積最大為（ ） A. bc B. ab C. ac D. b2 （ 2）已知雙曲線 xa yb a b22 22 1 0 0? ? ? ?( )，的左右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，點(diǎn) P 在雙曲線的右支上，且 | | | |PF PF1 24? ，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. 43 B. 53 C. 2 D. 72 （ 3）已知 A（ 3， 2）、 B（－ 4， 0）， P 是橢圓 x y2 225 9 1? ?上一點(diǎn)，則 |PA|＋ |PB|的最大值為（ ） A. 10 B. 10 5? C. 10 5? D. 10 2 5? 解析：（ 1）如圖，由橢圓對稱性知道 O 為 AB 的中點(diǎn)，則△ F1OB 的面積為△ F1 AB面積的一半。 （ 2） 解析：由雙曲線的定義， 得： | | | |PF PF a1 2 2? ? ， 又 | | | |PF PF1 24? ，所以 3 22| |PF a? ，從而 | |PF a2 23? 第 6 頁 共 35 頁 由雙曲線的第二定義可得 | |PFx acca22? ?， 所以 x ac?532。利用這個結(jié)論得出關(guān)于 a、 c 的不等式，從而得出 e 的取值范圍。 由平面幾何知識， || | | || | |PA PF AF? ? ，即 (| | | | ) | |m inPA PB AF? ? ?10， 而 | | ( ) ( )AF ? ? ? ? ?3 4 2 0 52 2， 所以 (| | | | ) m inPA PB? ? ?10 5。 （ 3）（ 06 山 東文， 21） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為 l。 （ 2）① 由已知得橢圓的半長軸 a=2,半焦距 c= 3 ,則半短軸 b=1， 又橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上 , ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 14 22 ??yx 。 于是 S△ ABC=14 4114 144 222???? ?? k kk kk。 （ Ⅱ ） 解 法 一 ： 由 題 意 知 直 線 l 的 斜 率 存 在 ， 設(shè) 直 線 l 的方程為第 9 頁 共 35 頁 1 1 2 22 , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y?? 由 22212y kxx y????? ????，消去 y 得關(guān)于 x 的方 程： 22(1 2 ) 8 6 0k x k x? ? ? ?， 由直線 l 與橢圓相交于 A、 B 兩點(diǎn)， 220 64 24( 1 2 ) 0kk? ? ? ? ? ?，解得 2 32k ?。 又 0S? ， 20 2S? ? ? ，從而 AOBS 的最大值為 22S? ， 第 10 頁 共 35 頁 此時代入方程（ *）得 424 28 49 0kk? ? ?， 142k? ??。 所以，所求直線方程為 14 2 4 0y? ? ? ? 解法二：由題意知直線 l 的斜率存在且不為零。處理韋達(dá)定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。 （ 3）（ 06 上海理， 20）在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中，直線 l 與拋物線 2y ＝ 2x 相交于A、 B 兩點(diǎn)。 BP ＝25（ 2－ x0） . ∵ 2－ x00，∴ BM （ 3） 證明： ① 設(shè)過點(diǎn) T(3,0)的直線 l 交拋物線 y2=2x 于點(diǎn) A(x1,y1)、 B(x12,y2). 當(dāng)直線 l的鈄率下存在時 ,直線 l的方程為 x=3,此時 ,直線 l與拋物線相交于 A(3, 6 )、B(3,－ 6 )， ∴ OBOA? =3。 （ 2）（ 06 江蘇， 17） 已知三點(diǎn) P（ 5， 2）、 1F （－ 6， 0）、 2F （ 6， 0）。1F 、 39。 O 第 16 頁 共 35 頁 已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ － 2， 1） . 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C 的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因為 A， B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱 . 所以 .294 9182 2221 ??? ???? k kkxx 解得98?k， 所以直線 l 的方程為 ,1)2(98 ??? xy 即 8x9y+25=0. (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意 ) 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ － 2， 1） . 設(shè) A， B 的坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,(x2,y2).由題意 x1? x2 且 ,1492121 ?? yx ① ,1492222 ?? yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因為 A、 B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22112211 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?。 題型 4：知識交匯題 例 7．（ 06 遼寧 ,20） 已知點(diǎn) 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx? 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??上的兩個動點(diǎn) , O 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,向量 OA ,OB 滿足 O A O B O A O B? ? ?.設(shè)圓 C 的方程為 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? (I) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 。 （Ⅰ）試證： 4( 1)nnx s n? ? ? ； （Ⅱ）取 2nnx ? ，并記 nC 為拋物線上分別以 nA與 nB 為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。 3．重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 ①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量。 ⑤參數(shù)思想 參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來劃分運(yùn)動變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點(diǎn)用參數(shù)方程形式設(shè)立或（ x0、 y0）即可將參量視 為常量，以相對靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。 二．命題走向 第 25 頁 共 35 頁 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點(diǎn)、弦長等。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù) 方法即解方程組的辦法來研究。 焦點(diǎn)弦長： ||PF ed ?（點(diǎn) P 是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)， F 是焦點(diǎn)， d 是 P 到相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的準(zhǔn)線的距離， e 是離心率）。 設(shè) A（ ), 11 yx 、 B（ ), 22 yx ，則 21,xx 是上面方程的二實根，由違達(dá)定理，2321 ??? xx ， 41521 ??xx ， 2 232 21 ???? xxx M 又因為 A、 B、 F 都是直線 l 上的點(diǎn)， 第 27 頁 共 35 頁 所以 |AB|= 21518324)(32||311 2122121 ?????????? xxxxxx 點(diǎn)評：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計算。 點(diǎn)評：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由 F1（ 0， 50 ）知， c= 50 ， 5022 ??? ba