【正文】 第 6 頁 共 24 頁 .4 360s i n15s i n105s i n421s i n21 0002 ????? RBacS此時(shí) 點(diǎn)評(píng)：要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件，同時(shí)兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果。 ?；?A=105176。－ A。 解析：∵ A+B+C=180176。 以下解法略去。 解法二：由 sin cosAA? 計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式 sin cosAA? 的值。 例 2．（ 1） 在 ? ABC 中，已知 23?a ， 62??c ， 060?B ，求 b 及 A； （ 2）在 ? ABC 中，已知 ?a cm ， ?b cm ， ?c cm ，解三角形 解析：（ 1）∵ 2 2 2 2 co s? ? ?b a c a c B = 22(2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 )? ? ? ? ? ?cos 045 = 212 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1)? ? ? ? =8 ∴ 2 2.?b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵ cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 ( 6 2 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ?b c aA bc ∴ 060.?A 解法二：∵ sin 023s in s in 4 5 ,22? ? ?aABb 第 4 頁 共 24 頁 又∵ 62? ＞ ,?? 23＜ 2 ,?? ∴ a ＜ c ，即 0 ＜ A ＜ 090, ∴ 060.?A （ 2）由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B 09047.?? 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定 A 的取值范圍。 （ 3）在△ ABC 中，熟記并會(huì)證明： ∠ A， ∠ B，∠ C 成等差數(shù)列的充分必要條件是∠ B=60176。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn) 。 s。 （ R 為外接圓半徑） （ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 為其內(nèi)角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C 的對(duì)邊。 AB＝ c， AC＝ b，BC＝ a。 二．命題走向 對(duì)本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會(huì)以正弦定理、余 弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。 （ 1）三邊之間的關(guān)系： a2＋ b2＝ c2。 （ 1）三角形內(nèi)角和： A＋ B＋ C＝ π 。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2＝ c2＋ a2－ 2cacosB； c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC。 4． 解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這 里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。 （ 1）角的變換 因?yàn)樵?△ ABC 中， A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－ cosC； tan(A+B)=－ tanC。； △ ABC 是正三角形的充分必要條件是∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列且 a， b， c成等比數(shù)列。 題型 2：三角形面積 例 3． 在 ?ABC 中， sin cosA A? ? 22， AC?2 ， AB?3 ，求 Atan 的值和 ?ABC的面積。 ? sin c o sA A? ? 22 ① 第 5 頁 共 24 頁 .0c o s,0s i n,180021c o ss i n221)c o s( s i n 2???????????AAAAAAA??? 23c oss i n21)c os(s i n 2 ???? AAAA?, ? ? ?sin c o sA A 62 ② ① + ② 得 sin A ? ?2 64。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。且 2B=A+C，∴ B=60176。 ∵22)c os (22s i ns i n ???? CACA， ∴ )]60(s i n21[22c os2 3s i n21 02 ???? AAA = 22 ， .2 2)60s i n(0)60s i n(,0)]60s i n(21)[60s i n( 0000 ?????????? AAAA 或 又∵ 0176。 當(dāng) A=60176。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時(shí) 當(dāng) A=105176。 題型 3：與三角形邊角相關(guān)的問題 例 5．（ 1） （ 20xx 江蘇 5） △ ABC 中， , 3,3A BC???則△ ABC 的周長為（ ） A． 4 3 si n( ) 33B ??? B． 4 3 si n( ) 36B ??? C． 6sin( ) 33B ??? D． 6sin( ) 36B ??? （ 2）（ 06 年全國 2 文， 17）在 254 5 , 1 0 , c o s5A B C B A C C? ? ? ? ? ?中 ，求（ 1） ?BC? （ 2）若點(diǎn) D AB是 的 中 點(diǎn) ， 求 中 線 CD 的 長 度 。 由余弦定理知： 22 2 c os21 18 2 1 3 2 132CD B D B C B D B C B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評(píng)：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識(shí)的運(yùn)用。 點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。 解法一：∵ a、 b、 c 成等比數(shù)列，∴ b2=ac。 ∴acbc Bb ?? 60sinsin 2=sin60176。∴ bcsinA=b2sinB。 解析：因?yàn)?A、 B、 C 成等差數(shù)列，又 A＋ B＋ C＝ 180176。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA ??? 32t a n2t a n32t a n2t a n ??? CACA 。故選 D。 ∵710120sin20sin ??A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。 點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過 關(guān)。 （ 2） y＝221211yy＋＝ 222144 s in s ins in 6 6?????〔 （ ＋ ）＋ （ － ）〕＝ 72（ 3＋ cot2?）因?yàn)?233?????， 所以當(dāng) ?＝3?或 ?＝ 23?時(shí)， y 取得最大值 ymax＝ 240，當(dāng) ?＝2?時(shí)， y 取得最小值 ymin＝ 216。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù) 學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 26） — 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： 1． 平面向量的數(shù)量積 ① 通過物理中 功 等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 ； ② 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 ； ③ 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 ； ④ 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 。 平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。b =︱ a ︱ b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上的投影的乘積。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量 a 與 b 同方向時(shí)，θ =00，當(dāng)且僅當(dāng) a 與 b 反方向時(shí)θ =1800，同時(shí) 0 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件： a? ⊥ b? ? a? 178。 2． 向量的應(yīng)用 （ 1）向量在幾何中的應(yīng)用； （ 2）向量在物理中的應(yīng)用。 例 2．（ 1） （ 20xx 上海春， 13）若 a 、 b 、 c 為任意向量， m∈ R，則下列等式 不一定 ． ． ．成立的是（ ） A． )()( cbacba ????? B． cbcacba ?????? )( C． m（ ba? ） =ma +mb