【正文】 D． )()( cbacba ????? （ 2） (20xx 江西、山西、天津理， 4)設 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量 ,且相互不共線 ,則 ①（ a 178。 a ）b 不與 c 垂直 ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9|a |2－ 4|b |2 中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（ 1）答案： D；因為 cbacba ????? ?c o s||||)( ，而 acbcba ????? ?c o s||||)( ；而 c 方 向與 a 方向不一定同向。 a ） b ］178。 a ） b 178。 b =9|a |2－ 4|b |2 成立。 （ 3） 已知兩單位向量 a 與 b 的夾角為 0120 ，若 2 , 3c a b d b a? ? ? ?，試求 c 與 d的夾角。 D． 150176。 向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。 題型 3：向量的模 例 5．（ 1）（ 06 福建文， 9） 已知向量 a 與 b 的夾角為 120o ， 3, 13 ,a a b? ? ? 則 b第 18 頁 共 24 頁 等于（ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 1 （ 2）（ 06 浙江文， 5） 設向量 ,abc滿足 0abc? ? ? , ,| | 1,| | 2a b a b? ? ?,則 2||c?（ ） A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 解析：（ 1） B；（ 2） D； 點評：掌握向量數量積的逆運算Qb baa cos|||| ??，以及 22 ||aa ? 。75； 再代回①得：????????????????????753524753524yxyx和 。 例 8．已知 ? ?4,3a? ， ? ?1,2b?? ， ,m a b??? 2n a b??，按下列條件求實數 ?第 19 頁 共 24 頁 的值。 題型 5：平面向量在代數中的應用 例 9．已知 a b c d ac bd2 2 2 21 1 1? ? ? ? ? ?， ，求證： | |。 例 10．已知 ? ? ? ?a b? ?? ?c o s s in c o s s in? ? ? ?， ， ，其中 0 ? ? ?? ? ? 。 ＋ 178。如果在平面向量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。 （ 1）求證 )0(322 ??? xyx ； （ 2）若點 P 的坐標為 )( 00 yx， ，記 ?PM 與 ?PN 的夾角為 ? ，求 ?tan 。 已知：如圖， AB 是⊙ O 的直徑，點 P 是⊙ O 上任一點（不與 A、 B 重合），求證：∠ APB＝ 90176。 題型 7：平面向量在物理中的應用 例 13．如圖所示，正六邊形 PABCDE 的邊長為 b，有五個力 ???? PDPCPBPA 、 、?PE 作用于同一點 P，求五個 力的合力。b ；今后要學到兩個向量的外積 a 179。因為其中 cos?有可能為 0； （ 4）已知實數 a、 b、 c(b?0)，則 ab=bc ? a=c。 由于向量本身具有代數形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學習過程中，都體現了數形結合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數思形、以形助數的思第 24 頁 共 24 頁 維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識。 如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量 a? 在 b? 方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數、負數和零三種情形；定比分點公式中的 ? 隨分點 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 。因此，新課程卷中有些問題屬于新教材與舊教材的結合部，凡涉及此類問題，高考命題都采用了新舊結合，以新帶舊或以新方法解決的方法進行處理，從中啟示我們在高考學習中，應突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。 向量的夾角、平行、垂直等關系的研究均可化歸為對應向 量或向量坐標的運算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應向量的數量積問題；向量的數量積公式 22 aa ?? ? ，溝通了向量與實數間的轉化關系；一些實際問題也可以運用向量知識去解決。 2． 平面向量數量積的運算律 特別注意： （ 1）結合律不成立： ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?； （ 2）消去律不成立 a b a c? ? ? 不能得到 bc??； （ 3） ab? =0 不能得到 a =0 或 b =0 。 ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“179。 由正六邊形的性質還可求 得 b2|PC| ?? 故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為 b6b3b2b ??? ，方向與 ?PC 的方向相同。 點評：平面向量是一個解決數學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。 y P M O N x ?? 圖 1 點評：由正弦面積公式 ???? t a n21t a nc os||||21s i n||||21 ?????? ???? bababaS得到了三角形面積與數量積之間的關系，由面積相等法建立等量關系?？墒?解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。 （ 2） ? ?k a b k k? ? ? ? ?＋ ，cos cos s i n s i n? ? ? ?， ? ?k a b k k? ?? ? ? ?cos cos s in s in? ? ? ?， 所以 ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， 因為 | | | |k a b k a b? ? ? ?? ? ?， 所以 ? ? ? ?k k k k2 22 1 2 1? ? ? ? ? ? ?c os c os? ? ? ?， 有 ? ? ? ?2 2k kc os c os? ? ? ?? ? ? ?， 因為 k?0 ，故 ? ?cos ? ?? ? 0， 又因為 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， 所以 ? ? ?? ?2。 解析：（ 1）因為 ( ) ( )a b a b a a b b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?＋ 178。 證明：設 )()( dcybax ， ?? 則 2222 |||| dcybaxbdacyx ??????? ， 。 解析： ? ?4 , 3 2 ,m a b? ? ?? ? ? ? ?? ?2 7,8n a b? ? ? （ 1） mn? ? ? ? ? 082374 ??????? ??952????； （ 2） //mn ? ? ? ? 072384 ??????? ??21????； (3) mn? ? ? ? ? 0884587234 22222 ?????????? ???? 5 1122 ??? ?。 題型 4：向量垂直、平行的判定 例 7． (20xx 廣東 12)已知向量 )3,2(?a ， )6,(xb? ，且 ba// ，則 ?x 。 解析：由 a? ＝（ 3， 4）， b? ＝（ 4， 3），有 xa? +yb? =(3x+4y,4x+3y)； 又（ xa? +yb? ）⊥ a? ? (xa? +yb? )178。 例 4．（ 1）（ 06 全國 1 理， 9）設平面向量 1a 、 2a 、 3a 的和 0321 ??? aaa 。 而 cd?? 22 17( 2 ) ( 3 ) 7 3 2 2a b b a a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 第 17 頁 共 24 頁 設 ? 為 c 與 d 的夾角， 則182 91171372 17c os ????。 B． 60176。 點評：本題考查平面向量的數量積及運算律，向量的數量積運算不滿足結合律。 a 178。 c ） a 178。故①假；②由向量的減法運算可知 |a |、 |b |、 |a － b |恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；第 16 頁 共 24 頁 ③因為［（ b 178。 a ） b =0 ② |a |－ |b ||a － b | ③（ b 178。 解析：（ 1）錯；（ 2）對；（ 3）錯；（ 4）錯；（ 5）錯；（ 6）對。 （ 7） 平面內兩點間的距離公式 設 ),( yxa? ，則 222|| yxa ?? 或 22|| yxa ?? 。b = 1 2 1 2xx y y? 。 ②乘法公式成立 ? ? ? ? 2222a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ?； C 第 14 頁 共 24 頁 ? ?2 222a b a a b b? ? ? ? ? 22 2a b b? ? ? ?； ③平面向量數量積的運算律 交換律成立： a b b a? ? ? ； 對實數的結合律成立： ? ? ? ? ? ? ? ?a b a b a b R? ? ? ?? ? ? ? ? ?； 分配律成立： ? ?a b c a c b c? ? ? ? ? ?? ?c a b? ? ? 。規(guī)定 00a?? ； 向量的投影：︱ b ︱ cos? =||aba?∈ R，稱為向量 b 在 a 方向上的投影。 第 13 頁 共 24 頁 （ 2）一道解答題，可能以三角、數列、解析幾何為載