【正文】 b、 hc分別表示 a、 b、 c 上的高）； （ 2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； （ 3）△＝)sin(2 sinsin2CB CBa ?＝)sin(2 sinsin2AC ACb ?＝)sin(2 sinsin2BA BAc ?； （ 4）△＝ 2R2sinAsinBsinC。 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設△ ABC 的三邊為 a、 b、 c，對應的三個角為 A、 B、 C。2s i n2c os,2c os2s i n CBACBA ????； （ 2）三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 四．典例解析 題型 1：正、余弦定理 例 1．（ 1） 在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形； （ 2） 在 ?ABC 中，已知 20?a cm， 28?b cm， 040?A ，解三角形（角度精確到 01 ，邊長精確到 1cm）。 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 ① － ② 得 cos A ? ?2 64。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個內角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。 A+C=120176。 A180176。時， B=60176。時， B=60176。 解析：（ 1）答案： D 解析：在 ABC? 中，由正弦定理得： ,233sin ?BAC 化簡得 AC= ,sin32 B 233)3(s in [ ??? ?? BAB ，化簡得 AB= )32sin(32 B?? ， 所以三角形的周長為： 3+AC+AB=3+ Bsin32 + )32sin(32 B?? =3+ .3)6s i n(6c os3s i n33 ???? ?BBB。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。 題型 4：三角形中求值問題 例 7． ABC? 的三個內角為 A B C、 、 ，求當 A 為何值時， cos 2 cos 2BCA ?? 取得最大值，并求出這個最大值。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 題型 5：三角形中的三角恒等變換問題 例 9．在△ ABC 中， a、 b、 c 分別是∠ A、∠ B、∠ C 的對邊長，已知 a、 b、 c 成等比數(shù)列，且 a2－ c2=ac－ bc，求∠ A 的 大小及cBbsin的值。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 =23。 ∴cBbsin=sinA=23。所以 A＋ C＝ 120176。 點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。 點評：解決此類問題時 要結合三角形內角和的取值問題，同時注意實施關于三角形內角的一些變形公式。 ∴∠ ACB=41176。 例 14．（ 06 江西理， 19） 如圖，已知△ ABC 是邊長為 1 的正三角形， M、 N 分別是 邊 AB、 AC 上的點，線段 MN 經(jīng)過△ ABC 的中心 G，設 ?MGA＝ ?（ 233?????） （ 1）試將△ AGM、△ AGN 的面積（分別記為 S1 與S2）； （ 2）表示為 ?的函數(shù)，求 y＝221211SS＋的最大值與最小值。 點評： 三角函數(shù)有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。 2． 向量的應用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決 實際問題的能力 。 預測 07 年高考： （ 1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。︱ b ︱ cos? 叫做 a 與b 的數(shù)量積（或內積）。 （ 4）向量數(shù)量積的性質 ①向量的模與平方的關系： 22||a a a a? ? ? 。 （ 5）兩個向量的數(shù)量積的坐標運算 已知兩個向量 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y??，則 a b? ＝ O? 02121 ?? yyxx ，平面向量數(shù)量積的性質。 四．典例解析 題型 1：數(shù)量積的概念 例 1．判斷下列各命題正確與否： （ 1） 00a?? ； 第 15 頁 共 24 頁 （ 2） 00a?? ； （ 3）若 0,a a b a c? ? ? ?，則 bc? ； （ 4）若 a b a c? ? ? ，則 bc? 當且僅當 0a? 時成立； （ 5） ( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ?對任意 ,abc 向量都成立； （ 6）對任意向量 a ，有 22aa? 。 b ） c －（ c 178。 （ 2）答案： D①平面向量的數(shù)量積不滿足結合律。 c =（ b 178。 c =0，所以垂直 .故③假；④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9178。故④真。 （ 4） （ 20xx 北京 3） | a |=1， | b |=2， c = a + b ，且 c ⊥ a ，則向量 a 與 b 的夾角為 （ ） A． 30176。 解析：（ 1） C；（ 2）2?； （ 3） 由題意， 1ab??，且 a 與 b 的夾角為 0120 ， 所以， 0 1c o s 1 2 02a b a b? ? ? ?， 2c c c? ? ? (2 ) (2 )a b a b? ? ? 224 4 7a a b b? ? ? ? ?， 7c?? ， 同理可得 13d?? 。 對于 . | || | cosa b a b ?? ? ? ?? 這個公式的變形應用應該做到熟練 ， 另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握 。 例 6．已知 a? ＝（ 3， 4）， b? ＝（ 4， 3），求 x,y 的值使 (xa? +yb? )⊥ a? ，且｜ xa? +yb? ｜=1。 點評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。（ 1） mn? ；（ 2） //mn； (3) mn? 。 分析： a b c d2 2 2 21 1? ? ? ?， ，可以看作向量 )()( dcybax ， ?? 的模的平方， 而 ac bd? 則是 x 、 y 的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質證出該不等式。 （ 1）求證： a b? ?＋ 與 a b? ?－ 互相垂直； （ 2）若 ka b? ?? 與 ka b? ?? （ k?0 ）的長度相等，求 ??? 。 －2 2 第 20 頁 共 24 頁 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?a b a b2 2 2 2 2 2 2 21 1 0| | | | cos sin cos sin? ? ? ? 所以 a b? ?＋ 與 a b? ?－ 互相垂直。若根據(jù)所給的三角式的結構及向量間的相互關系進行處理。 第 21 頁 共 24 頁 解析：（ 1）略解： 122 ???? ?? yxPNPM ，由直接法得 )0(322 ??? xyx （ 2）當 P 不在 x 軸上時， |||||21t a n21s in||||210yMNPNPMPNPMS P M N???????????? 而 2||21)1()1( 2020xx00 ???????????? ??? MNyxyxyxPMPN ， 所以 ||tan 0y?? ，當 P 在 x 軸上時， 0tan00 ?? ?，y ，上式仍成立。 證明：聯(lián)結 OP，設向量 bOPaOA ???? ， ，則 aOB ??? 且 baOPOAPA ??????? ，第 22 頁 共 24 頁 baOPOBPB ??????? 0|a||b|abPBPA 2222 ????????? ???? PBPA ，即∠ APB＝ 90176。 解析：所求五個力的合力為 ????????? PEPDPCPBPA ，如圖 3 所示，以 PA、 PE 為邊作平行四邊形 PAOE，則 ????? PEPAPO ，由正六邊形的性質可知 b|PA||PO| ???? ，且 O 點在 PC 上，以 PB、 PD 為邊作平行四邊形 PBFD，則 ????? PDPBPF ，由正六邊形的性質可知 b3|PF| ?? ，且 F 點在 PC 的延長線上。 b ，而 a ?b 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分 .符號“178。但是 a ?b = b ?c ca? ； 如右圖： a ?b = |a |b |cos? = |b ||OA|， b ?c = |b |c|cos? = |b ||OA|?a ?b =b ?c ，但 a ?c ； (5)在實數(shù)中，有 (a ?b )c = a (b ?c )，但是 (a ?b )c ? a (b ?c )，顯然，這是因為左端是與 c 共線的向量，而右端是與 a 共線的向量，而一般 a 與 c 不共線。 ②．化歸轉化的思想方法。 5．突出向量與其它數(shù)學知識的交匯 “新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學內容，其意義不僅在于數(shù)學內容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學問題和實際應用問