【正文】 頁 共 24 頁 － 22010COS120176。 解析：（ 1）因為 G 是邊長為 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG＝ 2 3 33 2 3? ＝，?MAG＝6?，由正弦定理 G M G Asi n si n66????＝ （ － － ）得 3GM6 si n 6??＝ （ ＋ ），則 S1＝12 GM?GA?sin?＝ sin12sin 6? ??（ ＋ ）。 二．命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。規(guī)定 00a?? ； 向量的投影：︱ b ︱ cos? =||aba?∈ R，稱為向量 b 在 a 方向上的投影。b = 1 2 1 2xx y y? 。 解析：（ 1）錯；（ 2）對；（ 3）錯；（ 4）錯；（ 5）錯；（ 6）對。故①假；②由向量的減法運算可知 |a |、 |b |、 |a － b |恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；第 16 頁 共 24 頁 ③因為［（ b 178。 a 178。 B． 60176。 例 4．（ 1）（ 06 全國 1 理， 9）設(shè)平面向量 1a 、 2a 、 3a 的和 0321 ??? aaa 。 題型 4：向量垂直、平行的判定 例 7． (20xx 廣東 12)已知向量 )3,2(?a ， )6,(xb? ，且 ba// ，則 ?x 。 證明：設(shè) )()( dcybax ， ?? 則 2222 |||| dcybaxbdacyx ??????? ， 。 （ 2） ? ?k a b k k? ? ? ? ?＋ ，cos cos s i n s i n? ? ? ?， ? ?k a b k k? ?? ? ? ?cos cos s in s in? ? ? ?， 所以 ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， ? ?| | cosk a b k k? ?? ? ? ? ?2 2 1? ?， 因為 | | | |k a b k a b? ? ? ?? ? ?， 所以 ? ? ? ?k k k k2 22 1 2 1? ? ? ? ? ? ?c os c os? ? ? ?， 有 ? ? ? ?2 2k kc os c os? ? ? ?? ? ? ?， 因為 k?0 ，故 ? ?cos ? ?? ? 0， 又因為 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， 所以 ? ? ?? ?2。 y P M O N x ?? 圖 1 點評：由正弦面積公式 ???? t a n21t a nc os||||21s i n||||21 ?????? ???? bababaS得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。 由正六邊形的性質(zhì)還可求 得 b2|PC| ?? 故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為 b6b3b2b ??? ，方向與 ?PC 的方向相同。 2． 平面向量數(shù)量積的運算律 特別注意： （ 1）結(jié)合律不成立： ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?； （ 2）消去律不成立 a b a c? ? ? 不能得到 bc??； （ 3） ab? =0 不能得到 a =0 或 b =0 。因此，新課程卷中有些問題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進行處理，從中啟示我們在高考學(xué)習(xí)中，應(yīng)突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。 如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量 a? 在 b? 方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點公式中的 ? 隨分點 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。因為其中 cos?有可能為 0； （ 4）已知實數(shù) a、 b、 c(b?0)，則 ab=bc ? a=c。 題型 7：平面向量在物理中的應(yīng)用 例 13．如圖所示，正六邊形 PABCDE 的邊長為 b，有五個力 ???? PDPCPBPA 、 、?PE 作用于同一點 P，求五個 力的合力。 （ 1）求證 )0(322 ??? xyx ； （ 2）若點 P 的坐標(biāo)為 )( 00 yx， ，記 ?PM 與 ?PN 的夾角為 ? ，求 ?tan 。 ＋ 178。 題型 5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用 例 9．已知 a b c d ac bd2 2 2 21 1 1? ? ? ? ? ?， ，求證： | |。75； 再代回①得：????????????????????753524753524yxyx和 。 向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。 （ 3） 已知兩單位向量 a 與 b 的夾角為 0120 ，若 2 , 3c a b d b a? ? ? ?，試求 c 與 d的夾角。 a ） b 178。 a ）b 不與 c 垂直 ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9|a |2－ 4|b |2 中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（ 1）答案： D；因為 cbacba ????? ?c o s||||)( ，而 acbcba ????? ?c o s||||)( ；而 c 方 向與 a 方向不一定同向。 2． 向量的應(yīng)用 （ 1）向量在幾何中的應(yīng)用； （ 2）向量在物理中的應(yīng)用。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量 a 與 b 同方向時，θ =00，當(dāng)且僅當(dāng) a 與 b 反方向時θ =1800，同時 0 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。b =︱ a ︱ 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù) 學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 26） — 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： 1． 平面向量的數(shù)量積 ① 通過物理中 功 等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 ； ② 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 ； ③ 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進行平面向量數(shù)量積的運算 ； ④ 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 。 點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過 關(guān)。故選 D。 解析：因為 A、 B、 C 成等差數(shù)列，又 A＋ B＋ C＝ 180176。 ∴acbc Bb ?? 60sinsin 2=sin60176。 點評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力。 點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。 題型 3：與三角形邊角相關(guān)的問題 例 5．（ 1） （ 20xx 江蘇 5） △ ABC 中， , 3,3A BC???則△ ABC 的周長為（ ） A． 4 3 si n( ) 33B ??? B． 4 3 si n( ) 36B ??? C． 6sin( ) 33B ??? D． 6sin( ) 36B ??? （ 2）（ 06 年全國 2 文， 17）在 254 5 , 1 0 , c o s5A B C B A C C? ? ? ? ? ?中 ，求（ 1） ?BC? （ 2）若點 D AB是 的 中 點 ， 求 中 線 CD 的 長 度 。 當(dāng) A=60176。且 2B=A+C，∴ B=60176。 ? sin c o sA A? ? 22 ① 第 5 頁 共 24 頁 .0c o s,0s i n,180021c o ss i n221)c o s( s i n 2???????????AAAAAAA??? 23c oss i n21)c os(s i n 2 ???? AAAA?, ? ? ?sin c o sA A 62 ② ① + ② 得 sin A ? ?2 64。； △ ABC 是正三角形的充分必要條件是∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列且 a， b， c成等比數(shù)列。 4． 解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這 里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。 （ 1）三角形內(nèi)角和： A＋ B＋ C＝ π 。今后高考的命題會以正弦定理、余 弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。 AB＝ c， AC＝ b，BC＝ a。 （ R 為外接圓半徑） （ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點 。 例 2．（ 1） 在 ? ABC 中，已知 23?a ， 62??c ， 060?B ，求 b 及 A； （ 2）在 ? ABC 中，已知 ?a cm ，