【正文】 角形，由2 1 12 1 12 1 1s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2A A AB B BC C C???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???，得212121222AABBCC???? ????? ????? ????， 那么，2 2 2 2A B C ?? ? ?，所以 2 2 2ABC? 是鈍角三角形。 例 10．（ 20xx 京皖春， 17 ）在△ ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差數列，求2t a n2t a n32t a n2t a n CACA ?? 的值。 在△ ABC 中，由正弦定理得 sinB=aAbsin，∵ b2=ac，∠ A=60176。 （Ⅱ）由題知221 2 sin co s 3co s sinBBBB? ???， 整理得 si n si n c os 2 c os 0B B B B? ? ?，∴ cos 0B? ∴ 2ta n ta n 2 0BB? ? ?； ∴ tan 2B? 或 tan 1B?? ，而 tan 1B?? 使 22cos si n 0BB??，舍去； ∴ tan 2B? 。 將 a＝ 2， cosA＝ 13， c＝ 3b代入余弦定理： 2 2 2a b c 2b c c os A＝ ＋ － 中， 得 42b 6b 9 0－ ＋ ＝ 解得 b＝ 3 。 第 6 頁 共 24 頁 .4 360s i n15s i n105s i n421s i n21 0002 ????? RBacS此時 點評：要善于借助三角形內的部分變形條件，同時兼顧三角形的面積公式求得結果。或 A=105176。 解析：∵ A+B+C=180176。 解法二：由 sin cosAA? 計算它的對偶關系式 sin cosAA? 的值。 （ 3）在△ ABC 中，熟記并會證明： ∠ A， ∠ B，∠ C 成等差數列的充分必要條件是∠ B=60176。 s。 2．斜三角形中各元素間的關系： 如圖 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 為其內角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C 的對邊。 二．命題走向 對本講內容的考察主要涉及三角形的邊角轉化、三角形形狀的判斷、三角形內三角函數的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關角等問題。 （ 1）三邊之間的關系： a2＋ b2＝ c2。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2＝ c2＋ a2－ 2cacosB； c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC。 （ 1）角的變換 因為在 △ ABC 中， A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－ cosC； tan(A+B)=－ tanC。 題型 2：三角形面積 例 3． 在 ?ABC 中， sin cosA A? ? 22， AC?2 ， AB?3 ，求 Atan 的值和 ?ABC的面積。 點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。 ∵22)c os (22s i ns i n ???? CACA， ∴ )]60(s i n21[22c os2 3s i n21 02 ???? AAA = 22 ， .2 2)60s i n(0)60s i n(,0)]60s i n(21)[60s i n( 0000 ?????????? AAAA 或 又∵ 0176。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時 當 A=105176。 由余弦定理知： 22 2 c os21 18 2 1 3 2 132CD B D B C B D B C B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 點評：本題考查了在三角形正弦定理的的運用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用。 點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數的形式，通過三角函數的性質求得結果。 解法一：∵ a、 b、 c 成等比數列，∴ b2=ac。∴ bcsinA=b2sinB。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA ??? 32t a n2t a n32t a n2t a n ??? CACA 。 ∵710120sin20sin ??A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。 （ 2） y＝221211yy＋＝ 222144 s in s ins in 6 6?????〔 （ ＋ ）＋ （ － ）〕＝ 72（ 3＋ cot2?）因為 233?????， 所以當 ?＝3?或 ?＝ 23?時， y 取得最大值 ymax＝ 240，當 ?＝2?時， y 取得最小值 ymin＝ 216。 平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數等聯系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。b 等于 a 的長度與 b 在 a 方向上的投影的乘積。 兩個非零向量垂直的充要條件： a? ⊥ b? ? a? 178。 例 2．（ 1） （ 20xx 上海春， 13）若 a 、 b 、 c 為任意向量， m∈ R，則下列等式 不一定 ． ． ．成立的是（ ） A． )()( cbacba ????? B． cbcacba ?????? )( C． m（ ba? ） =ma +mb D． )()( cbacba ????? （ 2） (20xx 江西、山西、天津理， 4)設 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量 ,且相互不共線 ,則 ①（ a 178。 a ） b ］178。 b =9|a |2－ 4|b |2 成立。 D． 150176。 題型 3：向量的模 例 5．（ 1）（ 06 福建文， 9） 已知向量 a 與 b 的夾角為 120o ， 3, 13 ,a a b? ? ? 則 b第 18 頁 共 24 頁 等于（ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 1 （ 2）（ 06 浙江文， 5） 設向量 ,abc滿足 0abc? ? ? , ,| | 1,| | 2a b a b? ? ?,則 2||c?（ ） A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 解析：（ 1） B；（ 2） D； 點評：掌握向量數量積的逆運算Qb baa cos|||| ??，以及 22 ||aa ? 。 例 8．已知 ? ?4,3a? ， ? ?1,2b?? ， ,m a b??? 2n a b??，按下列條件求實數 ?第 19 頁 共 24 頁 的值。 例 10．已知 ? ? ? ?a b? ?? ?c o s s in c o s s in? ? ? ?， ， ，其中 0 ? ? ?? ? ? 。如果在平面向量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。 已知：如圖， AB 是⊙ O 的直徑，點 P 是⊙ O 上任一點（不與 A、 B 重合），求證：∠ APB＝ 90176。b ；今后要學到兩個向量的外積 a 179。 由于向量本身具有代數形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學習過程中，都體現了數形結合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數思形、以形助數的思第 24 頁 共 24 頁 維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識。 。 向量的夾角、平行、垂直等關系的研究均可化歸為對應向 量或向量坐標的運算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應向量的數量積問題；向量的數量積公式 22 aa ?? ? ，溝通了向量與實數間的轉化關系；一些實際問題也可以運用向量知識去解決。 ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“179。 點評：平面向量是一個解決數學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義?？墒?解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。 解析：（ 1）因為 ( ) ( )a b a b a a b b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?＋ 178。 解析： ? ?4 , 3 2 ,m a b? ? ?? ? ? ? ?? ?2 7,8n a b? ? ? （ 1） mn? ? ? ? ? 082374 ??????? ??952????； （ 2） //mn ? ? ? ? 072384 ??????? ??21????； (3) mn? ? ? ? ? 0884587234 22222 ?????????? ???? 5 1122 ??? ?。 解析：由 a? ＝（ 3， 4）， b? ＝（ 4， 3），有 xa? +yb? =(3x+4y,4x+3y)； 又（ xa? +yb? ）⊥ a? ? (xa? +yb? )178。 而 cd?? 22 17( 2 ) ( 3 ) 7 3 2 2a b b a a b b a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 第 17 頁 共 24 頁 設 ? 為 c 與 d 的夾角， 則182 91171372 17c os ????。 點評：本題考查平面向量的數量積及運算律，向量的數量積運算不滿足結合律。 c ） a 178。 a ） b =0 ② |a |－ |b ||a － b | ③（ b 178。 （ 7） 平面內兩點間的距離公式 設 ),( yxa? ，則 222|| yxa ?? 或 22|| yxa ?? 。 ②乘法公式成立 ? ? ? ? 2222a b a b a b a b? ? ?