【正文】 ? ? ? ?； C 第 14 頁 共 24 頁 ? ?2 222a b a a b b? ? ? ? ? 22 2a b b? ? ? ?； ③平面向量數(shù)量積的運算律 交換律成立： a b b a? ? ? ； 對實數(shù)的結(jié)合律成立： ? ? ? ? ? ? ? ?a b a b a b R? ? ? ?? ? ? ? ? ?； 分配律成立： ? ?a b c a c b c? ? ? ? ? ?? ?c a b? ? ? 。 第 13 頁 共 24 頁 （ 2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質(zhì)； 三．要點精講 1．向量的數(shù)量 積 （ 1）兩個非零向量的夾角 已知非零向量 a 與 a，作 OA ＝ a ， OB ＝ b ，則 ∠ AＯ A＝ θ（０ ≤θ≤π）叫 a 與 b 的夾角 ； 說明：（ 1）當(dāng) θ＝０時， a 與 b 同向； （ 2）當(dāng) θ＝ π時， a 與 b 反向； （ 3）當(dāng) θ＝2?時， a 與 b 垂直，記 a ⊥ b ； （ 4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的 ， 范圍 0?≤?≤180?。通過引入角度，將圖?DAB CMN第 12 頁 共 24 頁 形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)4()f t t t??，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？ 五．思維總結(jié) 1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （ 1）已知兩角和一邊（如 A、 B、 C），由 A+B+C = π求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知兩邊和夾角（如 a、 b、 c），應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角； （ 3）已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、 b、 A），應(yīng)用正弦定理求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況； （ 4）已知三邊 a、 b、 c，應(yīng)余弦定 理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C。 ∴ 乙船應(yīng)朝北偏東 71176。 題型 6：正、余弦定理判斷三角形形狀 例 11．（ 20xx 上海春， 14）在△ ABC 中，若 2cosBsinA＝ sinC，則△ ABC 的形狀一定是（ ） 第 10 頁 共 24 頁 答案： C 解析： 2sinAcosB＝ sin（ A＋ B）＋ sin（ A－ B）又∵ 2sinAcosB＝ sinC， ∴ sin（ A－ B）＝ 0，∴ A＝ B 點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。 評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。 第 9 頁 共 24 頁 在△ ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 ??=bcbc2=21，∴∠ A=60176。 解析：（ Ⅰ）∵ 1mn?? ∴ ? ? ? ?1, 3 c o s , sin 1AA? ? ?，即 3 si n cos 1AA??， 312 s in c o s 122AA??? ? ? ?????， 1sin 62A ?????????； ∵ 50,6 6 6AA? ? ??? ? ? ? ? ?，∴66A ????，∴3A?。 解析：（ 1）因為銳角△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ ?， 22sin3A?，所以 cosA＝ 13， 則 22 2 22BCsinB C A A2ta n sin sinBC2 2 2c o s21 c o s B C 1 1 c o s A 1 71 c o s A1 c o s B C 2 1 c o sA 3 3＋＋ ＋ ＝ ＋＋－ （ ＋ ） ＋＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝＋ （ ＋ ） － （ 2）A B C A B C 1 1 2 2S 2 S b c s in A b c2 2 3?因為 ＝ ，又 ＝ ＝，則 bc＝ 3。 C=15176。∴ A=60176。（ 1）求 A、 B． C的大小；（ 2）求Δ ABC的的面積。 .21)45c o s (,22)45c o s (2c o ss i n??????????AAAA 又 0 180? ?? ?A , 45 60 , 105 .AA? ? ? ? 13ta n ta n ( 4 5 6 0 ) 2 313A ?? ? ? ? ? ? ??, .4 6260s i n45c os60c os45s i n)6045s i n(105s i ns i n ??????? ???????A S AC AB AABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 12 2 3 2 64 34 2 6s i n ( )。 r 為三角形內(nèi)切圓半徑， p 為周長之半。（ R 為外接圓半徑） 第 2 頁 共 24 頁 （ 5）△＝Rabc4； （ 6）△＝ ))()(( csbsass ??? ； ?????? ??? )(21 cbas； （ 7）△＝ r178。； （ 3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝ cosB＝ca， cosA＝ sinB＝cb， tanA＝ba。第 1 頁 共 24 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 27） — 正、余弦定理及應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： （ 1） 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題 ； （ 2） 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題 。（勾股定理） （ 2）銳角之間的關(guān)系： A＋ B＝ 90176。 3．三角形的 面積公式： （ 1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ ha、 hb、 hc分別表示 a、 b、 c 上的高）； （ 2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； （ 3）△＝)sin(2 sinsin2CB CBa ?＝)sin(2 sinsin2AC ACb ?＝)sin(2 sinsin2BA BAc ?； （ 4）△＝ 2R2sinAsinBsinC。2s i n2c os,2c os2s i n CBACBA ????； （ 2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個內(nèi)角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。 A180176。時， B=60176。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內(nèi)角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 ∴cBbsin=sinA=23。 點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。 ∴∠ ACB=41176。 點評： 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。 預(yù)測 07 年高考： （ 1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。 （ 4）向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系： 22||a a a a? ? ? 。 b? ＝ O? 02121 ?? yyxx ，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。 b ） c －（ c 178。 c =（ b 178。故④真。 解析：（ 1） C；（ 2）2?； （ 3） 由題意， 1ab??，且 a 與 b 的夾角為 0120 ， 所以， 0 1c o s 1 2 02a b a b? ? ? ?， 2c c c? ? ? (2 ) (2 )a b a b? ? ? 224 4 7a a b b? ? ? ? ?， 7c?? ， 同理可得 13d?? 。 例 6．已知 a? ＝（ 3， 4）， b? ＝（ 4， 3），求 x,y 的值使 (xa? +yb? )⊥ a? ，且｜ xa? +yb? ｜=1。（ 1） mn? ；（ 2） //mn； (3) mn? 。 （ 1）求證： a b? ?＋ 與 a b? ?－ 互相垂直； （ 2）若 ka b? ?? 與 ka b? ?? （ k?0 ）的長度相等，求 ??? 。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。 證明：聯(lián)結(jié) OP，設(shè)向量 bOPaOA ???? ， ，則 aOB ??? 且 baOPOAPA ??????? ，第 22 頁 共 24 頁 baOPOBPB ??????? 0|a||b|abPBPA 2222 ????????? ???? PBPA ，即∠ APB＝ 90176。 b ，而 a ?b 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分 .符號“178。 ②．化歸轉(zhuǎn)化的思想