【正文】 用圓、橢圓、雙曲線上點(diǎn)用參數(shù)方程形式設(shè)立或（ x0、 y0）即可將參量視 為常量，以相對(duì)靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù) 方法即解方程組的辦法來研究。 設(shè) A（ ), 11 yx 、 B（ ), 22 yx ，則 21,xx 是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，2321 ??? xx ， 41521 ??xx ， 2 232 21 ???? xxx M 又因?yàn)?A、 B、 F 都是直線 l 上的點(diǎn)， 第 27 頁 共 35 頁 所以 |AB|= 21518324)(32||311 2122121 ?????????? xxxxxx 點(diǎn)評(píng)：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算。 例 4． （ 20xx 上海， 17）已知橢圓 C 的焦點(diǎn)分別為 F1（ 22? ， 0）和 F2（ 2 2 ，0），長軸長為 6，設(shè)直線 y=x+2 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，求線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)。 點(diǎn)評(píng)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。 點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 .同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的 考查； 2． 關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。 x2=m2－ p. 由 OQ⊥ OR，得 kOQ 解析： 設(shè) l 與拋物線交于 1 1 2 2( , ) , ( , ) , | | x y B x y A B ?則 由距離公式 |AB|= 221221 )()( yyxx ??? = 21 2 1 2 1 22191 | | 2 | |, ( ) .2y y y y y yk? ? ? ? ? ?則有 由 .02,).1(2,21 222?????????????? ppyyxxpypyx 得消去 .,)2( 2212122 pyypyypp ?????????? 從而 .294)2(,4)()( 2221221221 ??????? ppyyyyyy 即由于 p0，解得 .43?p 點(diǎn)評(píng)： 方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無實(shí)數(shù)解則相離。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 題型 2：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例 5．（ 1） 過點(diǎn) ( 7,5)P 與雙曲線 2217 25xy??有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222 ???? babyax ，由 F1 （ 0， 50 ）得5022 ??? ba 把 直 線 方 程 23 ?? xy 代 入 橢 圓 方 程 整 理 得 ：0)4(12)9( 222222 ????? abxbxba 。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為： 第 26 頁 共 35 頁 注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與 拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 3．直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設(shè)直線 l:y=kx+n，圓錐曲線： F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為 P1 (x1,y1)， P2 (x2,y2)， 且由??? ?? ?nkxy yxF 0),(，消去 y→ ax2+bx+c=0（ a≠ 0），Δ =b2 － 4ac。 除上述常用數(shù)學(xué)思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視。 五．思維總結(jié) 1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)； 2． 復(fù)習(xí)時(shí)要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容 曲線與方程有兩個(gè)方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì) .這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題 .因此復(fù)習(xí)時(shí)要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）的縱坐第 24 頁 共 35 頁 標(biāo) y 和橫坐標(biāo) x 之間的關(guān)系式，即 f（ x， y） =0 為曲線方程，同時(shí)還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定 x， y 的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式 ，這時(shí)用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般可用直接法、間接代點(diǎn)法、參數(shù)法等求方程。 1 25a ? ,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22120 16xy??。 解析：（ 1） 解法一： (Ⅰ )因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓 C 上，所以 62 21 ??? PFPFa ，a=3. 在 Rt△ PF1F2 中， ,52212221 ??? PFPFFF故橢圓的半焦距 c= 5 ，從而 b2=a2－ c2=4，所以橢圓 C 的方程為 49 22 yx ? ＝ 1。 或y1y2=2， 如果 y1y2=－ 6， 可證得直線 AB 過點(diǎn) (3,0)；如果 y1y2=2, 可證得直線 AB 過點(diǎn) (－1,0),而不過點(diǎn) (3,0)。 （ 2）（Ⅰ）依題意得 a＝ 2c， ca2 ＝ 4，解得 a＝ 2， c＝ 1，從而 b＝ 3 . 第 13 頁 共 35 頁 故橢圓的方程為 134 22 ?? yx. （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－ 2， 0）， B（ 2， 0） .設(shè) M（ x0， y0） . ∵ M 點(diǎn)在橢圓上，∴ y0＝43（ 4－ x02） . ○ 1 又點(diǎn) M異于頂點(diǎn) A、 B，∴－ 2x02，由 P、 A、 M 三點(diǎn)共線可以得 P（ 4，260 0?xy） . 從而 BM ＝（ x0－ 2， y0）， BP ＝（ 2， 2600?xy ） . ∴ BM 下同解法一。 原點(diǎn) O 到直線 l 的距離221d k? ? 。 ③當(dāng)直線 BC 垂直于 x 軸時(shí) ,BC=2,因此 △ ABC 的面積 S△ ABC=1。 例 4．（ 1）（ 06 全國 1 文， 21） 設(shè) P 是橢圓 ? ?2 22 11x yaa ? ? ?短軸的一個(gè)端點(diǎn)， Q 為第 7 頁 共 35 頁 橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PQ 的最大值。故選 B。 例 2． （ 20xx 上海， 3）設(shè) P 為雙曲線 ?42x y2＝ 1 上一動(dòng)點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， M 為線段 OP 的中點(diǎn)，則點(diǎn) M 的軌跡方程是 。 四．典例解析 題型 1：求軌跡方程 例 1．（ 1） 一動(dòng)圓與圓 22 6 5 0x y x? ? ? ?外切，同時(shí)與圓 22 6 91 0x y x? ? ? ?內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。 證明 證明化簡以后的方程的 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不第 2 頁 共 35 頁 解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用 (x,y)表示曲線上任意一點(diǎn) M 的坐標(biāo)。 二．命題走向 近年來圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。 現(xiàn) (限 )：由限制條件，列出幾何等式。這是 求曲線方程的基本方法。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。 （法二）由解法一可得方程 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y? ? ? ? ? ?， x y 1O 2O P 第 4 頁 共 35 頁 由以上方程知，動(dòng)圓圓心 ( , )Mx y 到點(diǎn) 1( 3,0)O? 和 2(3,0)O 的距離和是常數(shù) 12 ，所以點(diǎn) M 的軌跡是焦點(diǎn)為 1( 3,0)O? 、 2(3,0)O ，長軸長等于 12 的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 26c? ， 2 12a? ，∴ 3c? ， 6a? ， ∴ 2 36 9 27b ? ? ? ， ∴圓心軌跡方程為 22136 27xy??。又 | |OF c1? ，△ F1OB 邊 OF1 上的高為 yB ，而 yB 的最大值是 b，所以△ F1OB的面積最大值為 12cb。 （ 3） 解析：易知 A（ 3， 2）在橢圓內(nèi)， B（－ 4， 0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為 F（ 4， 0）。 (Ⅰ )求橢圓的方程； (Ⅱ )直線 l 過點(diǎn) P(0,2)且與橢圓相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng)Δ AOB 面積取得最大值時(shí)，求直線 l 的方程。 由1442?kk≥－ 1,得 S△ ABC≤ 2 ,其中 ,當(dāng) k=－21時(shí) ,等號(hào)成立。 所以，所求直線方程為： 14 2 4 0xy? ? ? ?。 題型 3：證明問題和對(duì)稱問題 例 5．（ 1）（ 06 浙江理， 19） 如圖，橢圓byax 222 ?＝1（ a＞ b＞ 0）與過點(diǎn) A（ 2， 0） B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T，且橢圓的離心率 e=23. (Ⅰ )求橢圓方程； (Ⅱ )設(shè) F1 、 F2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， M 為線段 AF 1 的中點(diǎn)，求證：∠ ATM=∠AF1 T。 BP 0，則∠ MBP 為銳角，從而∠ MBN 為鈍角， 故點(diǎn) B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 （Ⅰ）求以 1F 、 2F 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) P 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn) P、 1F 、 2F 關(guān)于直線 y＝ x 的對(duì)稱點(diǎn)分別為 P? 、 39。 代入③得2121 xx yy ?? ＝ 98 ，即直線 l 的斜率為 98 ，所以直線 l 的方程為 y－ 1＝ 98 （ x+2）， 即 8x－ 9y+25=0。 (II)當(dāng)圓 C 的圓心到直線 X2Y=0 的距離的最小值為 255時(shí)，求 p 的值。 ②用好函數(shù)思想方法 對(duì) 于圓錐曲線上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及 a， b， c， e 之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等。 四．典例解析 題型 1：直線與橢圓的位置 關(guān)系 例 1． 已知橢圓： 19 22 ??yx，過左焦點(diǎn) F 作傾斜角為6?的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，求弦 AB 的長。 例 3． （ 06 遼寧 卷） 直線 2yk? 與曲線 2 2 2 29 18k x y k x?? ( , )kR??且 k0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：將 2yk? 代入 2 2 2 29 18k x y k x?? 得： 2 2 2 29 4 18k x k k x??。 由 ? 0 得 66 ??? a 且 3??a 時(shí)，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。 方法二：設(shè)弦的兩 個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，弦中點(diǎn)為 ( , )Pxy ，則 22112244xyxy? ???????? 得： 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y? ? ? ? ?， ∴ 1 2 1 21 2 1 24( )y y x xx x y y???， 即4 1yxxy? ?， 即 2240x y y? ? ?（圖象的一部分） 點(diǎn)評(píng)：（ 1）弦長公式 21 2 1 221| | 1 | | 1 | |A B k x x y yk? ? ? ? ? ?；（ 2）有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。 ∴ x0= 2 21 xx? ==x0－ 1=2.∴ P（ 3， 2）。 解析：顯然 12,xx?0，又 2212yy? ＝ 4（ 12xx? ） ?8 12xx ，當(dāng)且僅當(dāng) 124xx??時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為 32。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；