【正文】 9 .20? ? ?bAB a 因?yàn)?0 ＜ B ＜ 0180 ，所以 064?B ，或 0116.?B ①當(dāng) 064?B 時(shí)， 0 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 40 64 ) 76? ? ? ? ? ? ?C A B ， 00s in 2 0 s in 7 6 3 0 ( ) .s in s in 4 0? ? ?aCc c mA ②當(dāng) 0116?B 時(shí)， 0 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 40 116 ) 24? ? ? ? ? ? ?C A B ， 00s in 2 0s in 2 4 1 3 ( ) .s in s in 4 0? ? ?aCc c mA 點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時(shí)（ 1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（ 2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 （ 1）角與角關(guān)系： A+B+C = π； （ 2）邊與邊關(guān)系： a + b c， b + c a， c + a b， a－ b c， b－ c a， c－ a b； （ 3）邊與角關(guān)系： 正弦定理 RCcBbAa 2s ins ins in ???（ R 為外接圓半徑）； 余弦定理 c2 = a2+b2－ 2bccosC， b2 = a2+c2－ 2accosB， a2 = b2+c2－ 2bccosA； 它們的變形形式有： a = 2R sinA，baBA?sinsin，bc acbA 2cos 222 ???。 RCcBbAa 2s ins ins in ??? 。 三．要點(diǎn)精講 1． 直角三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖，在△ ABC 中， C＝ 90176。當(dāng) d≠ 0 時(shí)是 n 的一 個(gè)常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次式。即 an＝??? ?? ?? )2()1(11 nSS nSnn。 于是當(dāng) bn≥ 1 時(shí)， Bn≥ Bn－ 1，當(dāng) bn＜ 1 時(shí)， Bn＜ Bn－ 1， 因此，數(shù)列｛ Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn＋ 1＜ 1。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴ S3=a1+a2+a3=210。（ 1+ 121?k ） = 12 12??kk （ 2k+2）。 a3＝ 12， a1＋ a3＝ 8， 把 a1， a3 作為方程的兩根且 a1＜ a3， ∴ x2－ 8x＋ 12＝ 0， x1＝ 6， x2＝ 2，∴ a1＝ 2， a3＝ 6，∴選 B. （ 3）答案為 A； 第 9 頁 共 26 頁 點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問 題、解決問題的能力。選 B。 例 8． （ 20xx 年江蘇卷）設(shè)數(shù)列 }{na 、 }{nb 、 }{nc 滿足： 2??? nnn aab ，第 6 頁 共 26 頁 21 32 ?? ??? nnnn aaac （ n=1,2,3,… ），證明： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ） 證明： ?1 必要性：設(shè)數(shù)列 }{na 是公差為 1d 的等差數(shù)列，則： ???? ??? )( 311 nnnn aabb )( 2?nn aa = ??? )( 1 nn aa )( 23 ?? ? nn aa = 1d 1d =0， ∴ 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）成立； 又 2)( 11 ???? ?? nnnn aacc )( 12 ?? ? nn aa )(3 23 ?? ?? nn aa =6 1d （常數(shù)）（ n=1,2,3,… ） ∴ 數(shù)列 }{nc 為等差數(shù)列。 解：（ 1） 1 1a? ，2 23a?，3 24a?，4 25a?，5 26a?，??， 21na n? ?； （ 2） 2 2 21 2 ( 1 ) ( 2 )nb n n n n? ? ?? ? ? ?， 1 13b?，2 16b?，3 110b?，4 115b?，5 121b?． 點(diǎn)評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。 解析： (1) 由圖形可設(shè) 12(1 , 0) , ( 2 , 0) , , ( , 0)nA A A n，當(dāng)粒子從 原點(diǎn)到達(dá) nA 時(shí)，明顯有 1 3,a? 211,aa?? 3 1 11 2 3 4 ,a a a? ? ? ? ? 431,aa?? 5 3 32 0 5 4 ,a a a? ? ? ? ? 651,aa?? ? ? 2 1 2 3 ( 2 1) 4 ,nna a n??? ? ? ? 2 2 1 1,nnaa??? ∴ 2 1 1 4 [ 3 5 ( 2 1 ) ]na a n? ? ? ? ? ? ?＝ 241n? , 22 2 1 14nna a n?? ? ?。 （ 4） 等差數(shù)列的前 n 和的求和公式： 11() ( 1 )22nn n a a nnS n a d? ?? ? ?。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N? （或它的有限子集）的函數(shù) ()fn 當(dāng)?shù)? 2 頁 共 26 頁 自變量 n 從 1 開始依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值 (1), (2), (3),f f f ??，()fn，?? ．通常用 na 來代替 ??fn，其圖象是一群孤立點(diǎn)。 預(yù)測 07 年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高。例如， 1， ， ， ，?? （ 3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號： 1 2 3 4 5 6 項(xiàng) ： 4 5 6 7 8 9 上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。其中2abA ?? a ， A ， b 成等差數(shù)列 ? 2abA ?? 。 （ 1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) n n nA B C、 、 時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為 nnna、 b、 c ，試寫出}nnna{}、 {b }、 {c的通相公式； （ 2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn) (16,44)P 時(shí)所需的時(shí)間； （ 3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過 20xx 秒后，它所處的坐標(biāo)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/。 例 4． （ 1）已知數(shù)列 ??na 適合： 1 1a? ， 1na? 22nnaa? ?，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式； （ 2）用上面的數(shù)列 ??na ，通過等式 1n n nb a a ??? 構(gòu)造新數(shù)列 ??nb ，寫出 nb ， 并寫出 ??nb 的前 5 項(xiàng)。 點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運(yùn)用遞推式an=Sn－ Sn－ 1 的推理能力 .但不要忽略 a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。 題型 5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式 例 9． （ 20xx 年全 國卷 I）設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ，1 2 3 80aa a ? ，則 11 12 13a a a? ? ?（ ） A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 解析： 1 2 3 2 215 3 15 5a a a a a? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?1 2 3 2 2 280 80a a a a d a a d? ? ? ? ?，將 2 5a? 代入，得 3d? ，從而 ? ? ? ?11 12 13 12 23 3 10 3 5 30 105a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? ?。 a3＝ 48，∵ a2＝ 4，∴ a1 （ ii）假設(shè)當(dāng) n=k（ k≥ 1）時(shí)，①式成立，即（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）＞ 12 ?k . 那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）［ 1+1)1(2 1 ??k］＞ 12 ?k ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 項(xiàng)之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，則 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，從而 d=a2－ a1=40。 數(shù)列｛ bn｝是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列 .對每個(gè)自然數(shù) n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 （ 2）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察第 14 頁 共 26 頁 數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式；③一個(gè)數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛ an｝中，前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng)公式 an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握之。 n－ na1＋2 )1( ?nnd，可以整理成 Sn＝2dn2＋ nda )2( 1?。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。 （ 2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 。 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ ABC 的三邊為 a、 b、 c，對應(yīng)的三個(gè)角為 A、 B、 C。 四．典例解析 題型 1：正、余弦定理 例 1．（ 1） 在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形； （ 2） 在 ?ABC 中，已知 20?a cm， 28?b cm， 040?A ，解三角形（角度精確到 01 ，邊長精確到 1cm）。 ① － ② 得 cos A ? ?2 64 。 A+C=120176。時(shí)， B=60176。 解析：（ 1）答案 ： D 解析：在 ABC? 中，由正弦定理得： ,233sin ?BAC 化簡得 AC= ,sin32 B 233)3(s in [ ??? ?? BAB ，化簡得 AB= )32sin(32 B?? ， 所以三角形的周長為： 3+AC+AB=3+ Bsin32 + )32sin(32 B?? =3+ .3)6s i n(6c os3s i n33 ???? ?BBB 。 題型 4：三角形中求值問題 例 7． ABC? 的三個(gè)內(nèi)角為 A B C、 、 ，求當(dāng) A 為何值時(shí)， cos 2 cos2BCA ??取得最大值，并求出這個(gè)最大值。 題型 5：三角形中的三角恒等變換問題 第 23 頁 共 26 頁 例 9．在△ ABC 中， a、 b、 c 分別是∠ A、∠ B、∠ C 的對邊長，已知 a、 b、 c 成等比數(shù)列，且 a2－ c2=ac－ bc，求∠ A 的大小及cBbsin的值。 =23。所以 A＋ C＝ 120176。 點(diǎn)評：解決此類問題時(shí)要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題，同時(shí)注意實(shí)施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式。 例 14．（ 06 江西理， 19） 如圖，已知△ ABC 是邊長為 1 的正三角形， M、 N 分別是 邊 AB、 AC 上的點(diǎn)，線段 MN 經(jīng)過△ ABC 的中心 G，設(shè) ?MGA＝ ?（ 233?????） （ 1）試將△ AGM、△ AGN 的面積（分別記為 S1 與S2）； （ 2）表示為 ?的 函數(shù)，求 y＝221211SS＋的最大值與最小