【正文】 減少，因式就容易處理了。 第 11 頁 共 26 頁 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkk k . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說①式當 n=k+1 時也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對任何正整數(shù) n 都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 由 bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 （ 5） 等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 daa nn ???1 (常數(shù) )，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； ②等差中項：對于數(shù)列 ??na ，若 212 ?? ?? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 （ R 為外接圓半徑） （ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 例 2．（ 1） 在 ? ABC 中，已知 23?a ， 62??c ， 060?B ，求 b 及 A； （ 2）在 ? ABC 中，已知 ?a cm ， ?b cm ， ?c cm ，解三角形 解析：（ 1）∵ 2 2 2 2 co s? ? ?b a c a c B = 22(2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 )? ? ? ? ? ?cos 045 = 212 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1)? ? ? ? =8 第 18 頁 共 26 頁 ∴ 2 2.?b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵ cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 ( 6 2 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ?b c aA bc ∴ 060.?A 解法二：∵ sin 023s in s in 4 5 ,22? ? ?aABb 又∵ 62? ＞ ,?? 23＜ 2 ,?? ∴ a ＜ c ，即 0 ＜ A ＜ 090, ∴ 060.?A （ 2）由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B 09047.?? 點評：應用余弦定理時解法二應注意確定 A 的取值范圍。－ A。 第 21 頁 共 26 頁 （ 2）解：（ 1）由 2 5 5c o s s in55CC??得， 2 3 1 0s in s in ( 1 8 0 4 5 ) ( c o s s in )2 1 0A C C C? ? ? ? ? ?， 由正弦定理知 10 3 10si n 3 2si n 1022ACBC AB? ? ? ? ?， （ 2） 10 5sin 2sin 522ACA B CB? ? ? ? ?， 1 12BD AB??。由 b2=ac 可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。故 tan 32 ??CA.由兩角和的正切公式， 得 32ta n2ta n12ta n2ta n ???CACA。同理可求得 S2＝ sin12sin 6? ??（ － ）。方向沿直線前往 B 處救援 。 例 10．（ 20xx 京皖春， 17 ）在△ ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差數(shù)列，求2t a n2t a n32t a n2t a n CACA ?? 的值。 （Ⅱ）由題知221 2 sin co s 3co s sinBBBB? ???， 整理得 si n si n c os 2 c os 0B B B B? ? ?，∴ cos 0B? ∴ 2ta n ta n 2 0BB? ? ?； ∴ tan 2B? 或 tan 1B?? ，而 tan 1B?? 使 22cos si n 0BB??，舍去； ∴ tan 2B? 。 .4 360s i n15s i n105s i n421s i n21 0002 ????? RBacS此時 點評：要善于借助三角形內的部分變形條件，同時兼顧三角形的面積公式求得結果。 解析：∵ A+B+C=180176。 （ 3）在△ ABC 中，熟記并會證明： ∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列的充分必要條件是第 17 頁 共 26 頁 ∠ B=60176。 2．斜三角形中各元素間的關系： 如圖 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 為其內角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C 的對邊。 （ 3）對于 A 是 a、 b 的等差中項，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 解析： .解：（Ⅰ）由題意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 20xx（ 10a ） 21?n 。 下面用數(shù)學歸納法證明①式。 于是由 ⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,? )， 所以數(shù)列 {a n}是等差數(shù)列。 點評：從起始項入手，逐步展開解題思維 。 （ 2） 等差數(shù)列的通項公式： 1 ( 1)na a n d? ? ? ； 說明：等差數(shù)列（通常可稱為 A P 數(shù)列）的單調性： d 0? 為遞增數(shù)列， 0d? 為常數(shù)列， 0d? 為遞減數(shù)列。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系 。 （ 5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列 ??na 的第 1 項（或前幾項），且任一項 na 與它的前一項 1na? （或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n? ? ? ? ? ?, 即 2nc n n??。 綜上所述： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb（ n=1,2,3,… ）。 （ 2）（ 1998 全國文， 25）已知數(shù)列｛ bn｝是等差數(shù)列， b1=1， b1+b2+? +b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛ bn｝的通項 bn； （Ⅱ）設數(shù)列｛ an｝的通項 an=lg（ 1+nb1 ），記 Sn 是數(shù)列｛ an｝的前 n 項和，試比較Sn 與 21 lgbn+1 的大小，并證明你的結論。 例 14．（ 20xx 上海， 21）在 XOY 平面上有一點列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），?，Pn（ an， bn），?，對每個自然數(shù) n，點 Pn 位于函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的圖象上，且點 Pn、點（ n， 0）與點（ n+1， 0）構成一個以 Pn 為頂點的等腰三角形。 2．等差數(shù)列的知識要點： （ 1）等差數(shù)列定義 an＋ 1－ an＝ d（常數(shù)）（ n ?N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常數(shù)）就說｛ an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。 （ 1）三邊之間的關系： a2＋ b2＝ c2。 （ 1）角的變換 因為在 △ ABC 中， A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－ cosC； tan(A+B)=－ tanC。 點評：本小題主要考查三角恒 等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時 當 A=105176。 點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質求得結果?！?bcsinA=b2sinB。 ∵710120sin20sin ??A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉化為我們熟知的函數(shù)4()f t t t??，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？ 五．思維總結 1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （ 1）已知兩角和一邊（如 A、 B、 C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知兩邊和夾角（如 a、 b、 c），應用余弦定理求 c 邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角， 然后利用 A+B+C = π，求另一角； （ 3）已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、 b、 A），應用正弦定理求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況； （ 4）已知三邊 a、 b、 c，應余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C。 題型 6：正、余弦定理判斷三角形形狀 例 11．（ 20xx 上海春， 14）在△ ABC 中，若 2cosBsinA＝ sinC，則△ ABC 的形狀一定是（ ） 答案： C 解析： 2sinAcosB＝ sin（ A＋ B）＋ sin（ A－ B）又∵ 2sinAcosB＝ sinC， ∴ sin（ A－ B）＝ 0，∴ A＝ B 點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。 在△ ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 ??=bcbc2=21，∴∠ A=60176。 解析：（ 1）因為銳角△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ ?， 22sin 3A? ，所以 cosA＝ 13， 則 22 2 22BCsinB C A A2ta n sin sinBC2 2 2c o s21 c o s B C 1 1 c o s A 1 71 c o s A1 c o s B C 2 1 c o sA 3 3＋＋ ＋ ＝ ＋＋－ （ ＋ ） ＋＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝＋ （ ＋ ） － （ 2）A B C A B C 1 1 2 2S 2 S b c s in A b c2 2 3?因為 ＝ ，又 ＝ ＝，則 bc＝ 3?！?A=60176。 .21)45c o s (,22)45c o s (2c o ss i n??????????AAAA 又 0 180? ?? ?A , 45 60 , 105 .AA? ? ? ? 13ta n ta n ( 4 5 6 0 ) 2 313A ?? ? ? ? ? ? ??, 第 19 頁 共 26 頁 .4 6260s i n45c os60c os45s i n)6045s i n(105s i ns i n ??????? ???????A S AC AB AABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 12 2 3 2 64 34 2 6s i n ( )。（ R 為外接圓半徑） （ 5）△＝Rabc4