【正文】 2( )1( 11 nn nanSS nS nnn ∴ an=2n－ 1（ n∈ N） 又 an+1－ an=2 為常數(shù)，12 121 ???? nnaa nn≠常數(shù) ∴ {an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 . 解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于 n 的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式an=Sn－ Sn－ 1 的推理能力 .但不要忽略 a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。 例 8． （ 20xx 年江蘇卷）設(shè)數(shù)列 }{na 、 }{nb 、 }{nc 滿足： 2??? nnn aab ，第 6 頁(yè) 共 26 頁(yè) 21 32 ?? ??? nnnn aaac （ n=1,2,3,… ），證明： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ） 證明： ?1 必要性：設(shè)數(shù)列 }{na 是公差為 1d 的等差數(shù)列，則： ???? ??? )( 311 nnnn aabb )( 2?nn aa = ??? )( 1 nn aa )( 23 ?? ? nn aa = 1d 1d =0， ∴ 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）成立； 又 2)( 11 ???? ?? nnnn aacc )( 12 ?? ? nn aa )(3 23 ?? ?? nn aa =6 1d （常數(shù)）（ n=1,2,3,… ） ∴ 數(shù)列 }{nc 為等差數(shù)列。 ?2 充分性：設(shè)數(shù)列 }{nc 是公差為 2d 的等差數(shù)列，且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）， ∵ 21 32 ?? ??? nnnn aaac …… ① ∴ 4322 32 ???? ??? nnnn aaac …… ② ① － ② 得： )( 22 ?? ??? nnnn aacc )(2 31 ??? nn aa )(3 42 ?? ?? nn aa = 21 32 ?? ?? nnn bbb ∵ ???? ?? )( 12 nnnn cccc 221 2)( dcc nn ??? ?? ∴ 21 32 ?? ?? nnn bbb 2d?? …… ③ 從而有 321 32 ??? ?? nnn bbb 22d?? …… ④ ④ － ③ 得： 0)(3)(2)( 23121 ?????? ????? nnnnnn bbbbbb …… ⑤ ∵ 0)( 1 ??? nn bb ， 012 ?? ?? nn bb ， 023 ?? ?? nn bb ， ∴ 由 ⑤ 得： 01 ??? nn bb （ n=1,2,3,… ）， 由此，不妨設(shè) 3dbn? （ n=1,2,3,… ），則 2?? nn aa 3d? （常數(shù)） 故 3121 32432 daaaaac nnnnnn ?????? ??? …… ⑥ 從而 3211 324 daac nnn ??? ??? 31 524 daa nn ??? ? …… ⑦ ⑦ － ⑥ 得： 311 2)(2 daacc nnnn ???? ?? ， 故311 )(21 dccaa nnnn ???? ?? 3221 dd ??（常數(shù)）（ n=1,2,3,… ）， ∴ 數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 綜上所述： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb（ n=1,2,3,… ）。 證法二： 令 An = a n+1 a n，由 b n≤ b n+1 知 a n a n+2≤ a n+1 a n+3。 從而 a n+1 a n≥ a n+3 a n+2,即 An≥ An+2（ n=1,2,3,? ） 由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 3 a n+3 得 c n+1c n=( a n+1 a n+2(a n+2 a n+1)+3(a n+3 a n+2)，即 An+2An+1+3An+2=d2. ⑥ 由此得 An+2+2An+3+3An+2=d2. ⑦ ⑥ ⑦得 (AnAn+2)+2(An+1 An+3)+3(An+2 An+4)=0 ⑧ 第 7 頁(yè) 共 26 頁(yè) 因?yàn)?AnAn+2≥ 0， An+1 An+3≥ 0， An+2 An+4≥ 0, 所以由⑧得 AnAn+2=0(n=1,2,3,? )。 于是由 ⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,? )， 所以數(shù)列 {a n}是等差數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。 題型 5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式 例 9． （ 20xx 年全 國(guó)卷 I）設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ，1 2 3 80aa a ? ，則 11 12 13a a a? ? ?（ ） A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 解析： 1 2 3 2 215 3 15 5a a a a a? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?1 2 3 2 2 280 80a a a a d a a d? ? ? ? ?，將 2 5a? 代入，得 3d? ，從而 ? ? ? ?11 12 13 12 23 3 10 3 5 30 105a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? ?。選 B。 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項(xiàng)和公差的式子，變?cè)獪p少，因式就容易處理了。 例 10．（ 1）（ 20xx 湖南 16）已知數(shù)列 ))}1({ lo g *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且.9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明 .111112312 ??????? ? nn aaaaaa ? 解析：（ 1）（ I） 解：設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d。 由 ,8l o g2l o g)2( l o g29,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 所以 ,)1(1)1(lo g 2 nna n ?????? 即 .12 ?? nna （ II）證明因?yàn)閚nnnn aaa 21211 11 ???? ??， 第 8 頁(yè) 共 26 頁(yè) 所以nnn aaaaaa 21212121111 32112312 ??????????? ? ?? .1211211212121??????? nn 點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律。 題型 6：等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和公式 例 11．（ 1）（ 20xx 京皖春， 11）若一個(gè)等差數(shù)列前 3 項(xiàng)的和為 34，最后 3 項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為 390，則這個(gè)數(shù)列有（ ） 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng) （ 2）（ 20xx 全國(guó)理， 3）設(shè)數(shù)列 {an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12，前三項(xiàng)的積為 48，則它的首項(xiàng)是（ ） （ 3） （ 20xx 年全國(guó)卷 II） 設(shè) Sn 是等差數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和，若 36SS ＝ 13 ，則 612SS ＝（ ） A． 310 B． 13 C． 18 D． 19 解析：（ 1）答案： A 設(shè)這個(gè)數(shù) 列有 n 項(xiàng) ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????3 9 02)1(1 4 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 （ 2）答案： B 前三項(xiàng)和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 a1 a2 a3＝ 48，∵ a2＝ 4，∴ a1 a3＝ 12， a1＋ a3＝ 8， 把 a1， a3 作為方程的兩根且 a1＜ a3， ∴ x2－ 8x＋ 12＝ 0， x1＝ 6， x2＝ 2，∴ a1＝ 2， a3＝ 6，∴選 B. （ 3）答案為 A； 第 9 頁(yè) 共 26 頁(yè) 點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問(wèn) 題、解決問(wèn)題的能力。 例 12．（ 1）（ 20xx 全國(guó)文， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和，已知 S7＝ 7， S15＝ 75， Tn 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項(xiàng)和，求 Tn。 （ 2）（ 1998 全國(guó)文， 25）已知數(shù)列｛ bn｝是等差數(shù)列， b1=1， b1+b2+? +b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛ bn｝的通項(xiàng) bn； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng) an=lg（ 1+nb1 ），記 Sn 是數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和，試比較Sn 與 21 lgbn+1 的大小，并證明你的結(jié)論。 解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d，則 Sn=na1＋ 21 n（ n－ 1） d．∴ S7＝ 7， S15＝ 75， ∴??? ?? ?? ,7510515 ,721711 da da 即 ??? ?? ?? ,57 ,1311 da da 解得 a1＝－ 2， d＝ 1．∴ nSn ＝ a1＋ 21 （ n－ 1） d＝－ 2＋ 21 （ n－ 1）。 ∵ 2111 ???? nSnS nn ， ∴數(shù)列｛ nSn ｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－ 2，公差為 21 ， ∴ Tn＝ 41 n2－ 49 n． （ 2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛ bn｝的公差為 d，由題意得?????????.1002 )110(1010,111dbb 第 10 頁(yè) 共 26 頁(yè) 解得??? ??.2,11db ∴ bn=2n－ 1. （Ⅱ）由 bn=2n－ 1，知 Sn=lg（ 1+1） +lg（ 1+31 ） +? +lg（ 1+ 121?n ） =lg［（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）］， 21 lgbn+1=lg 12 ?n . 因此要比較 Sn 與 21 lgbn+1 的大小，可先比較（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）與 12 ?n的大小 . 取 n=1，有（ 1+1）＞ 112 ?? ， 取 n=2，有（ 1+1）（ 1+31 ）＞ 122 ?? ，?? 由此推測(cè)（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）＞ 12 ?n .① 若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定： Sn＞ 21 lgbn+1。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。 （ i）當(dāng) n=1 時(shí)已驗(yàn)證①式成立。 （ ii）假設(shè)當(dāng) n=k（ k≥ 1）時(shí)，①式成立，即（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）＞ 12 ?k . 那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+