【正文】 ?照此規(guī)律， 60 歲時的收縮壓和舒張壓分別為 140； 85. 點評：本題以實際問題為背 景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 .它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)學(xué)思維活動。 點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=Sn－ Sn－ 1 的推理能力 .但不要忽略 a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。 ?2 充分性：設(shè)數(shù)列 }{nc 是公差為 2d 的等差數(shù)列，且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）， ∵ 21 32 ?? ??? nnnn aaac …… ① ∴ 4322 32 ???? ??? nnnn aaac …… ② ① － ② 得： )( 22 ?? ??? nnnn aacc )(2 31 ??? nn aa )(3 42 ?? ?? nn aa = 21 32 ?? ?? nnn bbb ∵ ???? ?? )( 12 nnnn cccc 221 2)( dcc nn ??? ?? ∴ 21 32 ?? ?? nnn bbb 2d?? …… ③ 從而有 321 32 ??? ?? nnn bbb 22d?? …… ④ ④ － ③ 得： 0)(3)(2)( 23121 ?????? ????? nnnnnn bbbbbb …… ⑤ ∵ 0)( 1 ??? nn bb ， 012 ?? ?? nn bb ， 023 ?? ?? nn bb ， ∴ 由 ⑤ 得： 01 ??? nn bb （ n=1,2,3,… ）， 由此，不妨設(shè) 3dbn? （ n=1,2,3,… ），則 2?? nn aa 3d? （常數(shù)） 故 3121 32432 daaaaac nnnnnn ?????? ??? …… ⑥ 從而 3211 324 daac nnn ??? ??? 31 524 daa nn ??? ? …… ⑦ ⑦ － ⑥ 得： 311 2)(2 daacc nnnn ???? ?? ， 故311 )(21 dccaa nnnn ???? ?? 3221 dd ??（常數(shù)）（ n=1,2,3,… ）， ∴ 數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 證法二： 令 An = a n+1 a n，由 b n≤ b n+1 知 a n a n+2≤ a n+1 a n+3。 于是由 ⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,? )， 所以數(shù)列 {a n}是等差數(shù)列。 題型 5：等差數(shù)列通項公式 例 9． （ 20xx 年全 國卷 I）設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ，1 2 3 80aa a ? ，則 11 12 13a a a? ? ?（ ） A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 解析： 1 2 3 2 215 3 15 5a a a a a? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?1 2 3 2 2 280 80a a a a d a a d? ? ? ? ?，將 2 5a? 代入，得 3d? ，從而 ? ? ? ?11 12 13 12 23 3 10 3 5 30 105a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? ?。 點評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。 由 ,8l o g2l o g)2( l o g29,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 題型 6：等差數(shù)列 的前 n 項和公式 例 11．（ 1）（ 20xx 京皖春， 11）若一個等差數(shù)列前 3 項的和為 34，最后 3 項的和為146，且所有項的和為 390，則這個數(shù)列有（ ） 項 項 項 項 （ 2）（ 20xx 全國理， 3）設(shè)數(shù)列 {an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為 12，前三項的積為 48，則它的首項是（ ） （ 3） （ 20xx 年全國卷 II） 設(shè) Sn 是等差數(shù)列｛ an｝的前 n 項和，若 36SS ＝ 13 ，則 612SS ＝（ ） A． 310 B． 13 C． 18 D． 19 解析：（ 1）答案： A 設(shè)這個數(shù) 列有 n 項 ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????3 9 02)1(1 4 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 （ 2）答案： B 前三項和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 a1 a3＝ 48，∵ a2＝ 4，∴ a1 例 12．（ 1）（ 20xx 全國文， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列｛ an｝的前 n 項和，已知 S7＝ 7， S15＝ 75， Tn 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項和，求 Tn。 解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d，則 Sn=na1＋ 21 n（ n－ 1） d．∴ S7＝ 7， S15＝ 75， ∴??? ?? ?? ,7510515 ,721711 da da 即 ??? ?? ?? ,57 ,1311 da da 解得 a1＝－ 2， d＝ 1．∴ nSn ＝ a1＋ 21 （ n－ 1） d＝－ 2＋ 21 （ n－ 1）。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。 （ ii）假設(shè)當 n=k（ k≥ 1）時，①式成立，即（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）＞ 12 ?k . 那么，當 n=k+1 時，（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）［ 1+1)1(2 1 ??k］＞ 12 ?k 第 11 頁 共 26 頁 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkk k . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說①式當 n=k+1 時也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對任何正整數(shù) n 都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 題型 7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例 13．（ 1）（ 20xx 上海春， 16）設(shè)｛ an｝（ n∈ N*）是等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，則下列結(jié)論 錯誤 ． ． 的是（ ） ＜ 0 B. a7＝ 0 ＞ S5 與 S7 均為 Sn 的最大值 （ 2）（ 1994 全國理， 12）等差數(shù)列 {an}的前 m 項和為 30，前 2m 項和為 100，則它的前 3m 項和為（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+? +a5a1+a2+? +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+? +a6=a1+a2+? +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 選項 S9S5，即 a6+a7+a8+a90? 2（ a7+a8） 0， 由題設(shè) a7=0， a80，顯然 C 選項是錯誤的。 解法二：設(shè)前 m 項的和為 b1，第 m+1 到 2m 項之和為 b2，第 2m+1 到 3m 項之和為b3，則 b1， b2， b3 也成等差數(shù)列。 ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 項之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，則 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，從而 d=a2－ a1=40。 點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì) .解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù) m，題給數(shù)列前 3m 項的和是與 m 無關(guān)的不變量，在含有某種變 化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 （Ⅰ）求點 Pn 的縱坐標 bn 的表達式； （Ⅱ）若對每個自然數(shù) n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形，求 a 的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè) Bn＝ b1， b2? bn（ n∈ N） .若 a ?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛ Bn｝的最大項的項數(shù)。 解析： .解：（Ⅰ）由題意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 20xx（ 10a ） 21?n 。 數(shù)列｛ bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列 .對每個自然數(shù) n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 由 bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 于是 ＝ lg［ 20xx（ 107 ） 21?n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 數(shù)列｛ ｝是一個遞減的等差數(shù)列 . 因此，當且僅當 ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 時，數(shù)列｛ ｝的前 n 項的和最大。 點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 . 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列的知識要點： （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集 N（或它的有限子集｛ 1， 2， 3，?，n，?｝）上的函數(shù) f（ n），當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值： f（ 1）， f（ 2），f（ 3），?， f（ n），?。 （ 2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察第 14 頁 共 26 頁 數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛ an｝中，前 n 項和 Sn 與通項公式 an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握之。特別要注意的是，若 a1 適合由 an＝ Sn－ Sn－ 1（ n≥ 2）可得到的表達式，則 an 不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。還可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 來判斷。 （ 3）對于 A 是 a、 b 的等差中項，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 n－ na1＋2 )1( ?nnd，可以整理成 Sn＝2dn2＋ nda )2( 1?。 （ 5） 等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 daa nn ???1 (常數(shù) )，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； ②等差中項：對于數(shù)列 ??na ，若 212 ?? ?? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 6．（ 1） 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最大值； 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函數(shù)最值的求法（ nN?? ）； ② 若已知 na ，則 nS