【正文】 最值時 n 的值（ nN?? ）可如下確定100nnaa???? ??或100nnaa???? ??。 二．命題走向 對本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。 AB＝ c， AC＝ b，BC＝ a。（勾股定理） （ 2）銳角之間的關(guān)系： A＋ B＝ 90176。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 為其內(nèi)角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C 的對邊。 （ 2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 。 （ R 為外接圓半徑） （ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 3．三角形的 面積公式： 第 16 頁 共 26 頁 （ 1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ ha、 hb、 hc分別表示 a、 b、 c 上的高） ； （ 2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； （ 3）△＝)sin(2 sinsin2CB CBa ?＝)sin(2 sinsin2AC ACb ?＝)sin(2 sinsin2BA BAc ?； （ 4）△＝ 2R2sinAsinBsinC。 s。 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ ABC 的三邊為 a、 b、 c，對應(yīng)的三個角為 A、 B、 C。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點 。2s i n2c os,2c os2s i n CBACBA ????； （ 2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 （ 3）在△ ABC 中，熟記并會證明： ∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列的充分必要條件是第 17 頁 共 26 頁 ∠ B=60176。 四．典例解析 題型 1：正、余弦定理 例 1．（ 1） 在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形； （ 2） 在 ?ABC 中，已知 20?a cm， 28?b cm， 040?A ，解三角形（角度精確到 01 ，邊長精確到 1cm）。 例 2．（ 1） 在 ? ABC 中，已知 23?a ， 62??c ， 060?B ，求 b 及 A； （ 2）在 ? ABC 中，已知 ?a cm ， ?b cm ， ?c cm ，解三角形 解析：（ 1）∵ 2 2 2 2 co s? ? ?b a c a c B = 22(2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 )? ? ? ? ? ?cos 045 = 212 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1)? ? ? ? =8 第 18 頁 共 26 頁 ∴ 2 2.?b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵ cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 ( 6 2 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ?b c aA bc ∴ 060.?A 解法二：∵ sin 023s in s in 4 5 ,22? ? ?aABb 又∵ 62? ＞ ,?? 23＜ 2 ,?? ∴ a ＜ c ，即 0 ＜ A ＜ 090, ∴ 060.?A （ 2）由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B 09047.?? 點評：應(yīng)用余弦定理時解法二應(yīng)注意確定 A 的取值范圍。 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 解法二：由 sin cosAA? 計算它的對偶關(guān)系式 sin cosAA? 的值。 ① － ② 得 cos A ? ?2 64 。 以下解法略去。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個內(nèi)角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。 解析：∵ A+B+C=180176。 A+C=120176。－ A。 A180176?；?A=105176。時， B=60176。 。時， B=60176。 .4 360s i n15s i n105s i n421s i n21 0002 ????? RBacS此時 點評：要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件，同時兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果。 解析：（ 1）答案 ： D 解析：在 ABC? 中，由正弦定理得： ,233sin ?BAC 化簡得 AC= ,sin32 B 233)3(s in [ ??? ?? BAB ，化簡得 AB= )32sin(32 B?? ， 所以三角形的周長為： 3+AC+AB=3+ Bsin32 + )32sin(32 B?? =3+ .3)6s i n(6c os3s i n33 ???? ?BBB 。 第 21 頁 共 26 頁 （ 2）解：（ 1）由 2 5 5c o s s in55CC??得， 2 3 1 0s in s in ( 1 8 0 4 5 ) ( c o s s in )2 1 0A C C C? ? ? ? ? ?， 由正弦定理知 10 3 10si n 3 2si n 1022ACBC AB? ? ? ? ?， （ 2） 10 5sin 2sin 522ACA B CB? ? ? ? ?， 1 12BD AB??。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。 將 a＝ 2， cosA＝ 13 ， c＝ 3b 代入余弦定理： 2 2 2a b c 2b c c os A＝ ＋ － 中， 第 22 頁 共 26 頁 得 42b 6b 9 0－ ＋ ＝ 解得 b＝ 3 。 題型 4：三角形中求值問題 例 7． ABC? 的三個內(nèi)角為 A B C、 、 ，求當 A 為何值時， cos 2 cos2BCA ??取得最大值，并求出這個最大值。 cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1－ 2sin2A2 + 2sinA2 =－ 2(sinA2 － 12)2+ 32； 當 sinA2 = 12，即 A=π 3 時 , cosA+2cosB+C2 取得 最大值為 32。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內(nèi)角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 （Ⅱ）由題知221 2 sin co s 3co s sinBBBB? ???， 整理得 si n si n c os 2 c os 0B B B B? ? ?，∴ cos 0B? ∴ 2ta n ta n 2 0BB? ? ?； ∴ tan 2B? 或 tan 1B?? ，而 tan 1B?? 使 22cos si n 0BB??，舍去； ∴ tan 2B? 。 題型 5：三角形中的三角恒等變換問題 第 23 頁 共 26 頁 例 9．在△ ABC 中， a、 b、 c 分別是∠ A、∠ B、∠ C 的對邊長，已知 a、 b、 c 成等比數(shù)列，且 a2－ c2=ac－ bc，求∠ A 的大小及cBbsin的值。由 b2=ac 可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 在△ ABC 中，由正弦定理得 sinB=aAbsin，∵ b2=ac，∠ A=60176。 =23。 ∵ b2=ac，∠ A=60176。 ∴cBbsin=sinA=23。 例 10．（ 20xx 京皖春， 17 ）在△ ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差數(shù)列，求2t a n2t a n32t a n2t a n CACA ?? 的值。所以 A＋ C＝ 120176。故 tan 32 ??CA.由兩角和的正切公式， 得 32ta n2ta n12ta n2ta n ???CACA。 點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時 結(jié)合三角變換公式的逆用。 例 12． （ 06 安徽理， 11） 如果 1 1 1ABC? 的三個內(nèi)角的余弦值分別等于 2 2 2ABC? 的三個內(nèi)角的正弦值，則（ ） A． 1 1 1ABC? 和 2 2 2ABC? 都是銳角三角形 B． 1 1 1ABC? 和 2 2 2ABC? 都是鈍角三角形 C． 1 1 1ABC? 是鈍角三角形， 2 2 2ABC? 是銳角三角形 D． 1 1 1ABC? 是銳角三角形， 2 2 2ABC? 是鈍角三角形 解析： 1 1 1ABC? 的三個內(nèi)角的余弦值均大于 0，則 1 1 1ABC? 是銳角三角形， 若 2 2 2ABC? 是銳角三角形，由2 1 12 1 12 1 1s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2s i n co s s i n ( )2A A AB B BC C C???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???，得212121222AABBCC???? ????? ????? ????， 那么，2 2 2 2A B C ?? ? ?，所以 2 2 2ABC? 是鈍角三角形。 點評：解決此類問題時要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題，同時注意實施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式。=700. 于是 ,BC=10 7 。 ∴∠ ACB=41176。方向沿直線前往 B 處救援 。 例 14．（ 06 江西理， 19） 如圖，已知△ ABC 是邊長為 1 的正三角形， M、 N 分別是 邊 AB、 AC 上的點，線段 MN 經(jīng)過△ ABC 的中心 G，設(shè) ?MGA＝ ?（ 233?????） （ 1）試將△ AGM、△ AGN 的面積（分別記為 S1 與S2）； （ 2）表示為 ?的 函數(shù)，求 y＝221211SS＋的最大值與最小值。同理可求得 S2＝ sin12sin 6? ??（ － ）。 點評： 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。 2．三角形內(nèi)切圓的半徑： 2Srabc?? ??，特別地，2a b cr ??? 斜直； 3．三角學中的射影定理：在△ ABC 中， AcCab c o sc o s ???? ，? 4．兩 內(nèi)角與其正弦值：在△ ABC 中， BABA s ins in ??? ，? 5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解