高三數(shù)學等差數(shù)列-閱讀頁
2024-12-01 05:49本頁面
【正文】 11a1=22. 即 2a1+9d=22. ∴ a1=2. ∴ an=2+(n1)?2=2n. ∴ d=a1=2. ∴ 公差 d 的值為 2, 數(shù)列 {an} 的通項公式為 an=2n. {an} 滿足 a1=4, an=4 (n≥ 2), 令 bn= . (1)求證 : 數(shù)列 {bn} 是等差數(shù)列 。 (2)證明數(shù)列 {an} 是等差數(shù)列 . (1)解 : 當 n=1 時 , a1=pa1, 若 p=1, 則 當 n=2 時有 a1+a2=2pa2=2a2. ∴ a1=a2 與 a1?a2 矛盾 . ∴ p?1. ∴ a1=0. ∴ 由 a1+a2=2pa2 知 : (2p1)a2=a1=0. ∵ a2?a1, ∴ a2?0, ∴ p= . 1 2 (2)證 : 由已知 Sn= nan, a1=0. 1 2 當 n≥ 2 時 , an=SnSn1= nan (n1)an1, 1 2 1 2 ∴ = . an1 an n1 n2 則 = , … , = . an2 an1 n2 n3 a2 a3 2 1 ∴ =n1. a2 an ∴ an=(n1)a2. ∴ anan1=a2. 故 數(shù)列 {an} 是以 a1 為首項 , a2 為公差的等差數(shù)列 . 數(shù)列 {an}, an?N*, Sn= (an+2)2, (1)求證 : {an} 是等差數(shù)列 。 (2) (1)的逆命題也成立 . 1+2+… +n a1+2a2+… +nan 證 : (1)由已知得 a1+2a2+… +nan= n(n+1)bn. ① 1 2 ∴ a1+2a2+… +nan+(n+1)an+1= (n+1)(n+2)bn+1. ② 1 2 將 ② 式減 ① 式化簡得 : an+1= (n+2)bn+1 nbn. 1 2 1 2 ∴ an= (n+1)bn (n1)bn1= (n+1)bn (n1)(2bnbn+1). 1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ {bn} 為等差數(shù)列 , ∴ bn1=2bnbn+1, bn+1bn 為常數(shù) . ∴ an+1an= (n+2)bn+1 nbn (n+1)bn+ (n1)(2bnbn+1) 1 2 1 2 1 2 1 2 = (bn+1bn) 為常數(shù) . 3 2 故數(shù)列 {an} 也是等差數(shù)列 . 證 : (2) (1)的逆命題為 : 兩個數(shù)列 {an} 和 {bn} 滿足 : 1+2+… +n a1+2a2+… +nan bn= , 若 {an} 為等差數(shù)列 , 則數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . 證明如下 : ∵ {an} 是等差數(shù)列 , ∴ 可設 an=an+b(a, b 為常數(shù) ). ∴ nan=an2+bn. ∴ a1+2a2+… +nan=a(12+22+… +n2)+b(1+2+… +n). 1+2+… +n a1+2a2+… +nan ∵ bn= = an(n+1)(2n+1)+ bn(n+1) n(n+1) 1 2 1 2 1 6 1 3 = a(2n+1)+b. ∴ bn+1bn= a, 為常數(shù) . 2 3 故數(shù)列 {bn} 也是等差數(shù)列 . {an} 是等差數(shù)列 , 其前 n 項和為 Sn, a3=7, S4=24. (1)求數(shù)列 {an} 的通項
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