【正文】 過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線(xiàn)的長(zhǎng)度及 a， b， c， e 之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)就很有效。 ④對(duì)稱(chēng)思想 由于圓錐曲線(xiàn)和圓都具有對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可使分散的條件相對(duì)集中，減少一些變量和未知量，簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題速度，促成問(wèn)題的解決。 ⑥轉(zhuǎn)化思想 解決圓錐曲線(xiàn)時(shí)充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 34） — 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 1．通過(guò) 圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想； 2．掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 判定及其相關(guān)問(wèn)題 。分析這類(lèi)問(wèn)題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對(duì)稱(chēng)的方法及韋達(dá)定理等。 三．要點(diǎn)精講 1． 點(diǎn) M(x0， y0)與圓錐曲線(xiàn) C： f(x， y)=0 的位置關(guān)系 2． 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類(lèi)：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。 則弦長(zhǎng)公式為： d= 221221 )()( yyxx ??? = 2212 ))(1( xxk ?? =22)1(ak Δ?= Δ|| )1(2ak?。 四．典例解析 題型 1：直線(xiàn)與橢圓的位置 關(guān)系 例 1． 已知橢圓： 19 22 ??yx，過(guò)左焦點(diǎn) F 作傾斜角為6?的直線(xiàn)交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，求弦 AB 的長(zhǎng)。 由題意知： )22(31: ?? xyl與 19 22 ??yx 聯(lián)立消去 y 得：0152124 2 ??? xx 。 例 2． 中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦 點(diǎn)為 F1（ 0， 50 ）的橢圓截直線(xiàn) 23 ?? xy 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為21，求橢圓的方程。 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為 ),(),( 2211 yxByxA ，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： 22221 912 ba bxx ???，又 AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為21，21962 22 221 ????? ba bxx 22 3ba ?? ，與方程 5022 ??ba 聯(lián)立可解出 25,75 22 ?? ba 故所求橢圓的方程為： 12575 22 ?? yx 。 例 3． （ 06 遼寧 卷） 直線(xiàn) 2yk? 與曲線(xiàn) 2 2 2 29 18k x y k x?? ( , )kR??且 k0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：將 2yk? 代入 2 2 2 29 18k x y k x?? 得： 2 2 2 29 4 18k x k k x??。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程與曲線(xiàn)的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧，同時(shí)對(duì)二次方程 的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。 解析：設(shè)橢圓 C 的方程為 12222 ??byax ， 由題意 a=3， c=2 2 ，于是 b=1. ∴橢圓 C 的方程為 92x ＋ y2＝ 1． 由?????????19222 yxxy 得 10x2＋ 36x＋ 27＝ 0， 因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式 Δ ＞ 0，所以直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 則 x1＋ x2＝ 518? ， 故線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 51,59? ）． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 （ 2）直線(xiàn) 1??kxy 與雙曲線(xiàn) 13 22 ??yx 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) a 為何值時(shí)， A、B 在雙曲線(xiàn)的同一支上？當(dāng) a 為何值時(shí)， A、 B 分別在雙曲線(xiàn)的兩支上？ 解析：（ 1） 解：若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則 7x? ，此時(shí)僅有一 個(gè)交點(diǎn) ( 7,0) ，滿(mǎn)足條件； 若直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為 5 ( 7 )y k x? ? ? 則 57y kx k? ? ? ， 第 29 頁(yè) 共 35 頁(yè) 22( 5 7 ) 17 2 5x k x k????， ∴ 2225 7 ( 5 7 ) 7 25x k x k? ? ? ? ?， 2 2 2( 25 7 ) 7 2 ( 5 7 ) ( 5 7 ) 7 25 0k x k x k k? ? ? ? ? ? ? ? ?， 當(dāng) 577k?時(shí)，方程無(wú)解，不滿(mǎn)足條件； 當(dāng) 577k??時(shí)， 2 5 7 10 75x? ? ?方程有一解，滿(mǎn)足條件； 當(dāng) 2 257k ?時(shí)，令 2 2 2[ 14 ( 5 7 ) ] 4( 25 7 ) [ ( 5 7 ) 16 5 ] 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 化簡(jiǎn)得： k 無(wú)解，所以不滿(mǎn)足條件； 所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條 7x? 和 57 107yx? ? ?。 由 ? 0 得 66 ??? a 且 3??a 時(shí)，方程組有兩解，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。 故當(dāng) 36 ???? a 或 63a? 時(shí)， A、 B 兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng) 33 a?? 時(shí)， A、 B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的兩支上。一種是與漸近線(xiàn)平行的兩條與雙曲線(xiàn)交于一點(diǎn)的直線(xiàn)。 例 5． （ 1）求直線(xiàn) 1yx??被雙曲線(xiàn) 22 14yx ??截得的弦長(zhǎng)； （ 2）求過(guò)定點(diǎn) (0,1) 的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn) 22 14yx ??截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。 方法二：設(shè)弦的兩 個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，弦中點(diǎn)為 ( , )Pxy ，則 22112244xyxy? ???????? 得： 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y? ? ? ? ?， ∴ 1 2 1 21 2 1 24( )y y x xx x y y???， 即4 1yxxy? ?， 即 2240x y y? ? ?（圖象的一部分） 點(diǎn)評(píng)：（ 1）弦長(zhǎng)公式 21 2 1 221| | 1 | | 1 | |A B k x x y yk? ? ? ? ? ?；（ 2）有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法。 解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， ( ,0)Fc ，漸近線(xiàn) byxa?，則過(guò) F 的直線(xiàn)方程為 ()ay x cb?? ?，則 2 2 2 2 2 2 0()b x a y a bay x cb? ? ? ??? ? ? ???， 代入得 4 4 2 4 4 2 2 4( ) 2 0b a x a c x a c a b? ? ? ? ?， 第 31 頁(yè) 共 35 頁(yè) ∴120 0xx???? ??即得 44ba? ， ∴ ba? ，即得到 2e? 。 題型 3：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系 例 8． 已知拋物線(xiàn)方程為 )0)(1(22 ??? pxpy ，直線(xiàn) myxl ??: 過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F 且被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為 3，求 p 的值。 例 9． 20xx 上海春， 4）直線(xiàn) y=x－ 1 被拋物線(xiàn) y2=4x 截得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 _____. 答案：（ 3， 2） 解法一：設(shè)直線(xiàn) y=x－ 1 與拋物線(xiàn) y2=4x 交于 A(x1， y1),B（ x2， y2） ,其中點(diǎn)為 P（ x0，y0）。 ∴ x0= 2 21 xx? ==x0－ 1=2.∴ P（ 3， 2）。 故中點(diǎn)為 P（ 3， 2）。 例 10．（ 1997 上海）拋物線(xiàn)方程為 y2=p（ x+1）（ p＞ 0），直線(xiàn) x+y=m 與 x 軸的交點(diǎn)在第 32 頁(yè) 共 35 頁(yè) 拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的右邊 . （ 1）求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩 個(gè)交點(diǎn)； （ 2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為 Q、 R， OQ⊥ OR，求 p 關(guān)于 m 的函數(shù) f（ m）的表達(dá)式； （ 3）（文）在（ 2）的條件下，若拋物線(xiàn)焦點(diǎn) F 到直線(xiàn) x+y=m 的距離為 22 ，求此直線(xiàn)的方程； （理）在（ 2）的條件下，若 m 變化，使得原點(diǎn) O 到直線(xiàn) QR 的距離不大于 22 ，求 p 的值的范圍 . 解：（ 1）拋物線(xiàn) y2=p（ x+1）的準(zhǔn)線(xiàn)方程是 x=－ 1－ 4p ，直線(xiàn) x+y=m 與 x 軸的交點(diǎn)為（ m， 0），由題設(shè)交 點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)右邊，得 m＞－ 1－ 4p ，即 4m+p+4＞ 0. 由??? ?? ?? myx xpy )1(2 得 x2－（ 2m+p） x+（ m2－ p） =0. 而判別式 Δ =（ 2m+p） 2－ 4（ m2－ p） =p（ 4m+p+4） . 又 p＞ 0 及 4m+p+4＞ 0，可知 Δ ＞ 0. 因此，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)； （ 2）設(shè) Q、 R 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ x1， y1）、（ x2， y2），由（ 1）知， x x2 是方程 x2－（ 2m+p） x+m2－ p=0 的兩根， ∴ x1+x2=2m+p， x1 kOR=－ 1， 即有 x1x2+y1y2=0. 又 Q、 R 為直線(xiàn) x+y=m 上的點(diǎn)， 因而 y1=－ x1+m， y2=－ x2+m. 于是 x1x2+y1y2=2x1x2－ m（ x1+x2） +m2=2（ m2－ p）－ m（ 2m+p） +m2=0， ∴ p=f（ m） = 22?mm ， 由??? ???? 044 0 pmp 得 m＞－ 2， m≠ 0； 第 33 頁(yè) 共 35 頁(yè) （ 3）（文）由于拋物線(xiàn) y2=p（ x+1）的焦點(diǎn) F 坐標(biāo)為（－ 1+4p ， 0），于是有 222|041| ????? mp ，即 |p－ 4m－ 4|=4. 又 p= 22?mm ∴ | 2 8123 2 ? ??m mm |=4. 解得 m1=0， m2=－ 38 ， m3=－ 4， m4=－ 34 . 但 m≠ 0 且 m＞－ 2，因而舍去 m m m3，故所求直線(xiàn)方程為 3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點(diǎn) O 到直線(xiàn) x+y=m 的距離不大于 22 ， 于是 222 |00| ??? m，∴ |m|≤ 1. 由（ 2），知 m＞－ 2 且 m≠ 0， 故 m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ . 由（ 2），知 f（ m） = 22?mm =（ m+2） + 24?m － 4， 當(dāng) m∈［－ 1， 0）時(shí)，任取 m m2， 0＞ m1＞ m2≥－ 1，則 f（ m1）－ f（ m2） =（ m1－ m2） +（2424 21 ??? mm） =（ m1－ m2）［ 1－)2)(2( 4 21 ?? mm］ . 由 0＞ m1＞ m2≥－ 1，知 0＜（ m1+2）（ m2+2）＜ 4， 1－)2)(2( 4 21 ?? mm＜ 0. 又由 m1－ m2＞ 0 知 f（ m1）＜ f（ m2）因而 f（ m）為減函數(shù) . 可見(jiàn)，當(dāng) m∈［－ 1， 0）時(shí)， p∈（ 0， 1］ . 第 34 頁(yè) 共 35 頁(yè) 同樣可證，當(dāng) m∈（ 0， 1］時(shí)， f（ m）為增函數(shù)，從而 p∈（ 0， 31 ］ . 解法二：由解法一知， m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ .由（ 2）知 p=f（ m） =2221 12mmmm???. 設(shè) t= m1 ， g（ t） =t+2t2，則 t∈（－∞，－ 1］∪［ 1， +∞），又 g（ t） =2t2+t=2（ t+41 ） 2－ 81 . ∴當(dāng) t∈（－∞，－ 1］時(shí)， g（ t）為減函數(shù)， g（ t）∈［ 1， +∞） . 當(dāng) t∈［ 1， +∞）時(shí)， g（ t）為增函數(shù)， g（ t）∈［ 3， +∞） . 因此，當(dāng) m∈［－ 1， 0］時(shí)， t∈（－∞，－ 1］， p=)(1tg∈（ 0， 1］； 當(dāng) m∈（ 0， 1］時(shí)， t∈［ 1， +∞）， p∈（ 0， 31 ］ . 點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)與方程，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，函數(shù)與不等式的知識(shí)，以及解決綜合問(wèn)題的能力。 解析：顯然 12,xx?0，又 2212yy? ＝ 4（ 12xx? ） ?8 12xx ，當(dāng)且僅當(dāng) 124xx??時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為 32。 五．思維總結(jié) 1．加強(qiáng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題的復(fù)習(xí) 由于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y，間接把它們聯(lián)系起來(lái)，減少變量、未知量采用參數(shù)法。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；