圓錐曲線的參數(shù)方程-閱讀頁
2024-08-24 03:29本頁面
【正文】 直角坐標(biāo)系中，有橢圓(其中θ為參數(shù))和拋物線(其中t為參數(shù)).(1)是否存在這樣的m值，使得該橢圓與該拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.(2)當(dāng)m取何值時(shí)，該橢圓與該拋物線的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于這個(gè)交點(diǎn)與該橢圓中心的距離？思路分析：本題所給的兩條曲線都是其參數(shù)方程的形式,如果該題直接根據(jù)其參數(shù)方程來進(jìn)行計(jì)算也許比較麻煩,所以本題可考慮將參數(shù)消去,轉(zhuǎn)化為普通方程來求解,本題也是對(duì)于學(xué)生的函數(shù)方面的知識(shí)的一個(gè)考查.解：（1）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯(lián)立得方程組消去y得x2+(82m)x+m216=0,令f(x)=x2+(82m)x+m216.由拋物線方程知x≥,則橢圓與拋物線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程f(x)=0在［,+∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根,即即顯然此不等式組無解,故滿足題設(shè)條件的m值不存在.（2）由Δ≥0得m≤4,又知橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,拋物線的頂點(diǎn)為(,0),故當(dāng)2≤m≤2,≤m≤時(shí),橢圓與拋物線必相交.若滿足題設(shè)條件,可有以下兩種情況：①橢圓中心與原點(diǎn)重合,此時(shí)m=0；②橢圓與拋物線的交點(diǎn)在橢圓中心與原點(diǎn)所連線段的垂直平分線上,即交點(diǎn)在直線x=上,將x=代入x2+(82m)x+m216=0,得m2+16m64=0,解得m=8177。應(yīng)用13已知橢圓方程為=1，橢圓長(zhǎng)軸的左、右頂點(diǎn)分別為AA2，P是橢圓上任一點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程.思路分析：本題為求點(diǎn)的軌跡方程問題，求點(diǎn)的軌跡方程問題用一般方法可以求解，直接尋找點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系較麻煩，利用參數(shù)方程，尋求橫、縱坐標(biāo)間的間接關(guān)系，然后消去參數(shù)的方法則相對(duì)較簡(jiǎn)單，即消參法求軌跡方程，是求軌跡的一種常用方法.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),且0≤θ2π).則P點(diǎn)坐標(biāo)為（acosθ,bsinθ），由題意知cosθ≠1，sinθ≠0.∵=,=,∴=,=.∴A1Q的方程為y=(x+a),①A2Q的方程為y=(xa).②①②，得y2=1
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