【正文】 ，最后解關(guān)于 a、 b 的方程組即可。 例 4． （ 20xx 上海， 17）已知橢圓 C 的焦點(diǎn)分別為 F1（ 22? ， 0）和 F2（ 2 2 ，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6，設(shè)直線 y=x+2 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，求線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)。 （ 2）把 1??kxy 代入 13 22 ??yx 整理得： 022)3( 22 ???? axxa ?? （ 1） 當(dāng) 3??a 時(shí)， 2424 a??? 。 點(diǎn)評(píng)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。 解析：由22 141yxyx? ????? ??? 得 224 ( 1) 4 0xx? ? ? ?得 23 2 5 0xx? ? ? （ *） 設(shè)方程（ *）的解為 12,xx，則有 1 2 1 225,33x x x x? ? ? ? 得， 21 2 1 2 1 2 4 2 0 82 | | 2 ( ) 4 2 29 3 3d x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 第 30 頁(yè) 共 35 頁(yè) （ 2）方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為1y kx??，它被雙曲線截得的弦為 AB 對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為 ( , )Pxy ， 由22114y kxyx????? ???? 得 22( 4 ) 2 5 0k x k x? ? ? ?（ *） 設(shè)方程（ *）的解為 12,xx，則 224 2 0 ( 4 ) 0kk? ? ? ? ?， ∴ 216 80 ,| | 5kk??， 且 1 2 1 22225,44kx x x xkk? ? ? ???， ∴ 1 2 1 2 1 2221 1 1 4( ) , ( ) ( ) 12 4 2 2 4kx x x y y y x xkk? ? ? ? ? ? ? ? ???， 22444kxky k? ??? ??? ???? 得 224 0 ( 4x y y y? ? ? ? ?或 0)y? 。 點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 由題意得??? ??? xy xy 4 12，（ x－ 1） 2=4x， x2－ 6x+1=0。 點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 .同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。 例 11． （ 06 山東卷） 已知拋物線 y2=4x，過(guò)點(diǎn) P(4， 0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則 y12+y22 的最小值是 。這類問(wèn)題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題，因此分析問(wèn)題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)設(shè)。有些題目第 35 頁(yè) 共 35 頁(yè) 還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到意想不到的解題效果； 3． 直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 ； 4．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng) (即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式 )；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的 考查； 2． 關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。 點(diǎn)評(píng)：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。 x2=m2－ p. 由 OQ⊥ OR，得 kOQ 解法二： y22=4x2， y12=4x1， y22－ y12=4x2－ 4x1， 121212 ))(( xx yyyy ? ?? =4.∴ y1+y2=4，即 y0=2， x0=y0+1=3。 解析： 設(shè) l 與拋物線交于 1 1 2 2( , ) , ( , ) , | | x y B x y A B ?則 由距離公式 |AB|= 221221 )()( yyxx ??? = 21 2 1 2 1 22191 | | 2 | |, ( ) .2y y y y y yk? ? ? ? ? ?則有 由 .02,).1(2,21 222?????????????? ppyyxxpypyx 得消去 .,)2( 2212122 pyypyypp ?????????? 從而 .294)2(,4)()( 2221221221 ??????? ppyyyyyy 即由于 p0，解得 .43?p 點(diǎn)評(píng)： 方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無(wú)實(shí)數(shù)解則相離。 例 7．過(guò)雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 若 A、 B 在雙曲線的同一支，須32221 ?? axx0 ，所以 3??a 或 3?a 。 題型 2：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例 5．（ 1） 過(guò)點(diǎn) ( 7,5)P 與雙曲線 2217 25xy??有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 29 | | 18 4 0xx? ? ? ?，顯然該關(guān)于 ||x 的方程有兩正解，即 x 有四解，所以交點(diǎn)第 28 頁(yè) 共 35 頁(yè) 有 4 個(gè)，故選擇答案 D。 解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222 ???? babyax ，由 F1 （ 0， 50 ）得5022 ??? ba 把 直 線 方 程 23 ?? xy 代 入 橢 圓 方 程 整 理 得 ：0)4(12)9( 222222 ????? abxbxba 。 解析： a=3,b=1,c=2 2 ，則 F（ 2 2 ， 0）。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為： 第 26 頁(yè) 共 35 頁(yè) 注意：直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與 拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 3．直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 設(shè)直線 l:y=kx+n，圓錐曲線： F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為 P1 (x1,y1)， P2 (x2,y2)， 且由??? ?? ?nkxy yxF 0),(，消去 y→ ax2+bx+c=0（ a≠ 0），Δ =b2 － 4ac。 預(yù)測(cè) 07 年高考： 1．會(huì)出現(xiàn) 1 道關(guān)于 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 的解答題； 2．與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一 般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。 除上述常用數(shù)學(xué)思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視。 ③掌握坐標(biāo)法 坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練。 五．思維總結(jié) 1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問(wèn)題背景平面幾何的一些性質(zhì)； 2． 復(fù)習(xí)時(shí)要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容 曲線與方程有兩個(gè)方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì) .這兩方面的問(wèn)題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題 .因此復(fù)習(xí)時(shí)要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）的縱坐第 24 頁(yè) 共 35 頁(yè) 標(biāo) y 和橫坐標(biāo) x 之間的關(guān)系式，即 f（ x， y） =0 為曲線方程，同時(shí)還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定 x， y 的范圍，這就是通常說(shuō)的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式 ，這時(shí)用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般可用直接法、間接代點(diǎn)法、參數(shù)法等求方程。 解析： (I)證明 1: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ? 設(shè) M(x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上的任意一點(diǎn) ,則 0MA MB?? 即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 第 18 頁(yè) 共 35 頁(yè) 整理得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 2: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… ..(1) 設(shè) (x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上則 即 21121 ( , )y y y y x x x xx x x x??? ? ? ? ? 去分母得 : 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 點(diǎn) 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )x y x y x y x y滿足上方程 ,展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 3: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… (1) 以線段 AB 為直徑的圓的方程為 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 4x x y yx y x x y y??? ? ? ? ? ? ? 展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 (II)解法 1:設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 第 19 頁(yè) 共 35 頁(yè) 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設(shè)圓心 C 到直線 x2y=0 的距離為 d,則 22 221| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |5 5 5y p yx y y py ppd p??? ? ?? ? ? 22| ( ) |5y p pp??? 第 20 頁(yè) 共 35 頁(yè) 當(dāng) y=p 時(shí) ,d 有最小值5p,由題設(shè)得 2555p ? 2p??. 解法 2: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )