【正文】 而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。 例 10．（ 1997 上海）拋物線方程為 y2=p（ x+1）（ p＞ 0），直線 x+y=m 與 x 軸的交點(diǎn)在第 32 頁 共 35 頁 拋物線的準(zhǔn)線的右邊 . （ 1）求證：直線與拋物線總有兩 個交點(diǎn)； （ 2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 Q、 R， OQ⊥ OR，求 p 關(guān)于 m 的函數(shù) f（ m）的表達(dá)式； （ 3）（文）在（ 2）的條件下，若拋物線焦點(diǎn) F 到直線 x+y=m 的距離為 22 ，求此直線的方程； （理）在（ 2）的條件下，若 m 變化，使得原點(diǎn) O 到直線 QR 的距離不大于 22 ，求 p 的值的范圍 . 解：（ 1）拋物線 y2=p（ x+1）的準(zhǔn)線方程是 x=－ 1－ 4p ，直線 x+y=m 與 x 軸的交點(diǎn)為（ m， 0），由題設(shè)交 點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊，得 m＞－ 1－ 4p ，即 4m+p+4＞ 0. 由??? ?? ?? myx xpy )1(2 得 x2－（ 2m+p） x+（ m2－ p） =0. 而判別式 Δ =（ 2m+p） 2－ 4（ m2－ p） =p（ 4m+p+4） . 又 p＞ 0 及 4m+p+4＞ 0，可知 Δ ＞ 0. 因此，直線與拋物線總有兩個交點(diǎn)； （ 2）設(shè) Q、 R 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ x1， y1）、（ x2， y2），由（ 1）知， x x2 是方程 x2－（ 2m+p） x+m2－ p=0 的兩根， ∴ x1+x2=2m+p， x1 題型 3：直線與拋物線的位置關(guān)系 例 8． 已知拋物線方程為 )0)(1(22 ??? pxpy ，直線 myxl ??: 過拋物線的焦點(diǎn) F 且被拋物線截得的弦長為 3，求 p 的值。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。 解析：設(shè)橢圓 C 的方程為 12222 ??byax ， 由題意 a=3， c=2 2 ，于是 b=1. ∴橢圓 C 的方程為 92x ＋ y2＝ 1． 由?????????19222 yxxy 得 10x2＋ 36x＋ 27＝ 0， 因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式 Δ ＞ 0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 則 x1＋ x2＝ 518? ， 故線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 51,59? ）． 點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 例 2． 中心在原點(diǎn)，一個焦 點(diǎn)為 F1（ 0， 50 ）的橢圓截直線 23 ?? xy 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為21，求橢圓的方程。因?yàn)榉匠探M解的個數(shù)與交點(diǎn)的個數(shù)是一樣的。 ⑥轉(zhuǎn)化思想 解決圓錐曲線時充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。 試證： 112 2 2 1nnnF C F C F C ??? ? ? ? ? ?； 證明：（Ⅰ）對任意固定的 1,n? 因?yàn)榻裹c(diǎn) F（ 0,1）， 所以可設(shè)直線 nnAB 的方程為 1,ny k x?? 第 23 頁 共 35 頁 將它與拋物線方程 2 4xy? 聯(lián)立得 : 2 4 4 0nx k x? ? ?, 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 4( 1)nnx s n? ? ? ． （Ⅱ）對任意固定的 1,n? 利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線 2 4xy? 在 nA 處的切線的斜率,2n nA xk ? 故 2 4xy? 在 nA 處的切線的方程為： ()2nnnxy y x x? ? ?，?? ① 類似地，可求得 2 4xy? 在 nB 處的切線的 方程為： ()2nnnsy t x s? ? ?，?? ② 由 ② － ① 得： 2 2 2 22 2 4 4n n n n n nnn x s x s x sy t x??? ? ? ? ? ?， 22 ,2 4 2n n n n n nx s x s x sxx? ? ?? ? ??? ③ 將 ③ 代入 ① 并注意 4nnxs?? 得交點(diǎn) nC 的坐標(biāo)為 ( , 1)2nnxs? ?． 由兩點(diǎn)間的距離公式得： 222 2( ) 4 22 4 4n n n nn x s x sFC ?? ? ? ? ? 2 224 2 22 ( ) ,4 2 2 nnn nn n nxxx FCx x x? ? ? ? ? ? ? ?． 現(xiàn)在 2nnx ? ，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得： 1 2 1 2122 1 121 1 1 1( ) 2( )21 1 1 1( 2 2 2 ) 2( ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 2 1.2 2 2 2nnnn n n n nnFC FC FC x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。 由題意知，半焦距 c1=6， 2 2 2 21 1 22 1 1 2 1 2 4 5a P F P F????? ? ? ? ? ? ?。2F為焦點(diǎn)且過點(diǎn) P? 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 當(dāng)直線 l 的鈄率存在時 ,設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x－ 3),其中 k≠0. 當(dāng) y2=2x 得 ky2－ 2y－ 6k=0,則 y1y2=－ 6. y=k(x－ 3) 又 ∵ x1=21y21 , x2=21y22 , ∴ OBOA? =x1x2+y1y2=21221 )(41 yyyy ?=3. 綜上所述 , 命題 “如果直線 l 過點(diǎn) T(3,0),那么 OBOA? =3”是真命題 . 第 15 頁 共 35 頁 ② 逆命題是：設(shè)直線 l 交拋物線 y2=2x 于 A、 B 兩點(diǎn) ,如果 OBOA? =3,那么該直線過點(diǎn) T(3,0).該命題是假命題 . 例如：取拋物線上的點(diǎn) A(2,2),B(21,1),此時 OBOA? =3, 直線 AB 的方程為 Y=32(X+1),而 T(3,0)不在直線 AB 上 . 點(diǎn)評 ：由拋物線 y2=2x 上的點(diǎn) A(x1,y1)、 B(x12,y2)滿足 OBOA? =3,可得 y1y2=－ 6。 ①求證 ：“如果直線 l 過點(diǎn) T（ 3， 0），那么 ???OA ????OB ＝ 3”是真命題； ②寫出（ 1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由． 解析：（ 1）（ I）過點(diǎn) A 、 B 的直線方程為 1.2x y?? 第 12 頁 共 35 頁 因?yàn)橛深}意得????????????12112222xybyax有惟一解， 即 2 2 2 2 2 2 2 21( ) 04b a x a x a a b? ? ? ? ?有惟一解， 所以 2 2 2 2( 4 4) 0a b a b? ? ? ? ? （ 0ab? ），故 224 4 ? ? ? 又因?yàn)? 3,2e?即 222 3,4aba? ?所以 ? 從而得 2212, ,2ab?? 故所求的橢圓方程為 2 22 1.2x y?? （ II）由（ I）得 6,2c?故1266( , 0 ), ( , 0 ),22FF?從而 6(1 ,0).4M ? 由????????????121122 22xyyx，解得 121,xx??所以 1(1, ).2T 因?yàn)? 6ta n 1,2A F T? ? ?又 1tan ,2TAM?? 2 2ta n ,6TM F?? 得2126ta n116ATM????6 1,2??因此 1 .ATM AF T? ? ? 點(diǎn)評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 設(shè)直線 l 的方程為 1 1 2 22 , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y?? ， 則直線 l 與 x 軸的交點(diǎn) 2( ,0)Dk?， 由解法一知 2 32k ?且 12 212 2812612kxxkxx k? ? ? ??? ??? ?????， 解法 1：1 2 1 21 1 2| | | | | | | 2 2 |22A O BS O D y y k x k xk? ? ? ? ? ? ? ? = 12||xx? 2 2 2 12( ) 4x x x x? ? ? 2216 2412k k?? ? 222 2 2 312kk ?? ?. 下同解法一 . 第 11 頁 共 35 頁 解法 2： AO B PO B PO AS S S??211 2 || | | ||2 xx? ? ? ? 21||xx??222 2 2 312kk ??。 又由韋達(dá)定理得 12 212 2812612kxxkxx k? ? ? ??? ??? ?????， 2 2 21 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4A B k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ?2 221 1 6 412k kk???? 。 ②設(shè)線段 PA 的中點(diǎn)為 M(x,y) ,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (x0,y0)， 由 x=210?x 得 x0=2x－ 1 第 8 頁 共 35 頁 y=2210?y y0=2y－21 由 ,點(diǎn) P 在橢圓上 ,得 1)212(4 )12( 22 ???? yx， ∴ 線段 PA 中點(diǎn) M 的軌跡方程是 1)41(4)21( 22 ???? yx。 點(diǎn)評：由△ PAF 成立的條件 || | | || | |PA PF AF? ? ，再延伸到特殊情形 P、 A、 F 共線，從而得出 || | | || | |PA PF AF? ? 這一關(guān)鍵結(jié)論。又 x a ac a? ?，即 53 2，從而 e ca? ?53。 點(diǎn)評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是： 第 3 頁 共 35 頁 實(shí)際問題 模型的解 數(shù)學(xué)模型方程 討論方程的解 翻譯回去 建立坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 （ 4）知識交匯題 圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。 參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y 聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。 要注意同解變形。 三．要點(diǎn)精講 1．曲線方程 （ 1）求曲線 (圖形 )方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 “建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)。但圓錐曲線在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求 有所降低，估計 20xx 年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。 寫出適合條件 P 的點(diǎn) M的集合 P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡明正確。 轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。 圓錐曲線的弦長求法： 設(shè)圓錐曲線 C∶ f(x， y)=0 與直線 l∶ y=kx+b 相交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)兩點(diǎn)，則弦長 |AB|為： 若弦 AB 過圓錐曲線的焦點(diǎn) F，則可用焦半徑求弦長， |AB|=|AF|+|BF|． 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo) (x， y)的取值范圍。 （ 2） 如圖，設(shè) ,PM點(diǎn)坐標(biāo)各為 11( , ), ( , )P x y M x y， ∴ 在已知雙曲線方程中3, 1ab??， ∴ 9 1 10c ? ? ? ∴ 已知雙曲線兩焦點(diǎn)為 12( 1 0 , 0 ), ( 1 0 , 0 )FF? ， ∵ 12PFF? 存在， ∴ 1 0y? 由三角形重心坐標(biāo)公式有11( 10 ) 103003xxyy? ? ? ????? ??? ???，即 1133xxyy??? ??