【正文】 點(diǎn)評： 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。 ∴∠ ACB=41176。 點(diǎn)評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí) 結(jié)合三角變換公式的逆用。 ∴cBbsin=sinA=23。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內(nèi)角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。時(shí)， B=60176。 A180176。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。2s i n2c os,2c os2s i n CBACBA ????； （ 2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 3．三角形的 面積公式： 第 16 頁 共 26 頁 （ 1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ ha、 hb、 hc分別表示 a、 b、 c 上的高） ； （ 2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； （ 3）△＝)sin(2 sinsin2CB CBa ?＝)sin(2 sinsin2AC ACb ?＝)sin(2 sinsin2BA BAc ?； （ 4）△＝ 2R2sinAsinBsinC。（勾股定理） （ 2）銳角之間的關(guān)系： A＋ B＝ 90176。 6．（ 1） 1 0a? ， 0d? 時(shí)， nS 有最大值； 1 0a? ， 0d? 時(shí)， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函數(shù)最值的求法（ nN?? ）； ② 若已知 na ，則 nS 最值時(shí) n 的值（ nN?? ）可如下確定100nnaa???? ??或100nnaa???? ??。還可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 來判斷。 于是 ＝ lg［ 20xx（ 107 ） 21?n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 數(shù)列｛ ｝是一個(gè)遞減的等差數(shù)列 . 因此，當(dāng)且僅當(dāng) ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 時(shí)，數(shù)列｛ ｝的前 n 項(xiàng)的和最大。 （Ⅰ）求點(diǎn) Pn 的縱坐標(biāo) bn 的表達(dá)式； （Ⅱ）若對每個(gè)自然數(shù) n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求 a 的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè) Bn＝ b1， b2? bn（ n∈ N） .若 a ?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛ Bn｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。 題型 7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例 13．（ 1）（ 20xx 上海春， 16）設(shè)｛ an｝（ n∈ N*）是等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，則下列結(jié)論 錯(cuò)誤 ． ． 的是（ ） ＜ 0 B. a7＝ 0 ＞ S5 與 S7 均為 Sn 的最大值 （ 2）（ 1994 全國理， 12）等差數(shù)列 {an}的前 m 項(xiàng)和為 30，前 2m 項(xiàng)和為 100，則它的前 3m 項(xiàng)和為（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+? +a5a1+a2+? +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+? +a6=a1+a2+? +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 選項(xiàng) S9S5，即 a6+a7+a8+a90? 2（ a7+a8） 0， 由題設(shè) a7=0， a80，顯然 C 選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。 解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d，則 Sn=na1＋ 21 n（ n－ 1） d．∴ S7＝ 7， S15＝ 75， ∴??? ?? ?? ,7510515 ,721711 da da 即 ??? ?? ?? ,57 ,1311 da da 解得 a1＝－ 2， d＝ 1．∴ nSn ＝ a1＋ 21 （ n－ 1） d＝－ 2＋ 21 （ n－ 1）。 由 ,8l o g2l o g)2( l o g29,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 證法二： 令 An = a n+1 a n，由 b n≤ b n+1 知 a n a n+2≤ a n+1 a n+3。 點(diǎn) 評：解決此類問題的思路是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。 0C 5C 4C 3C 2B 5B 4B 3B 2A 6A 5A 4A 3A 2C 1B 1A 1 xy第 4 頁 共 26 頁 （ 2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn) (16,44)P 時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn) 44C 所經(jīng)過得時(shí)間 44c 再加（ 44－ 16）＝ 28 秒， 所以 244 44 28 20xxt ? ? ? ?秒 。 點(diǎn)評： 每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成 是一個(gè)序號到另一個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 2．等差數(shù)列 （ 1） 等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。 （ 2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 }{na 的第 n 項(xiàng)與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。第 1 頁 共 26 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 28） — 數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1． 數(shù)列的概念和簡單表示法 ； 通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù) ； 2． 通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念 ， 探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式 ； 3． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。 例如，數(shù)列 ① 的通項(xiàng)公式是 na = n（ n ? 7， nN?? ），數(shù)列 ② 的通項(xiàng)公式是 na = 1n（ nN?? ）。用遞推公式表示為 1 ( 2)nna a d n?? ? ?或 1 ( 1)nna a d n? ? ? ?。 例 2． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？ 第 3 頁 共 26 頁 解析：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????，2na? ? 222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn???， 解方程得 15, 16nn? ? ?或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793為該數(shù)列的第 15 項(xiàng)。 （ 3）由 2nc n n??? 20xx，解得 1 801712n ????，取最大得 n=44， 經(jīng)計(jì)算，得 44c ＝ 198020xx，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，經(jīng)過 1980 秒后到達(dá)點(diǎn) 44C ，再向左運(yùn)行 24 秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 20， 44） 。 例 6． （ 20xx 京春理 14，文 15）在某報(bào)《自測健康狀況》的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 .觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（ _____）內(nèi)。 從而 a n+1 a n≥ a n+3 a n+2,即 An≥ An+2（ n=1,2,3,? ） 由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 3 a n+3 得 c n+1c n=( a n+1 a n+2(a n+2 a n+1)+3(a n+3 a n+2)，即 An+2An+1+3An+2=d2. ⑥ 由此得 An+2+2An+3+3An+2=d2. ⑦ ⑥ ⑦得 (AnAn+2)+2(An+1 An+3)+3(An+2 An+4)=0 ⑧ 第 7 頁 共 26 頁 因?yàn)?AnAn+2≥ 0， An+1 An+3≥ 0， An+2 An+4≥ 0, 所以由⑧得 AnAn+2=0(n=1,2,3,? )。 所以 ,)1(1)1(lo g 2 nna n ?????? 即 .12 ?? nna （ II）證明因?yàn)閚nnnn aaa 21211 11 ???? ??， 第 8 頁 共 26 頁 所以nnn aaaaaa 21212121111 32112312 ??????????? ? ?? .1211211212121??????? nn 點(diǎn)評：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。 ∵ 2111 ???? nSnS nn ， ∴數(shù)列｛ nSn ｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－ 2，公差為 21 ， ∴ Tn＝ 41 n2－ 49 n． （ 2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛ bn｝的公差為 d，由題意得?????????.1002 )110(1010,111dbb 第 10 頁 共 26 頁 解得??? ??.2,11db ∴ bn=2n－ 1. （Ⅱ）由 bn=2n－ 1，知 Sn=lg（ 1+1） +lg（ 1+31 ） +? +lg（ 1+ 121?n ） =lg［（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）］， 21 lgbn+1=lg 12 ?n . 因此要比較 Sn 與 21 lgbn+1 的大小，可先比較（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）與 12 ?n的大小 . 取 n=1，有（ 1+1）＞ 112 ?? ， 取 n=2，有（ 1+1）（ 1+31 ）＞ 122 ?? ，?? 由此推測（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?n ）＞ 12 ?n .① 若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定： Sn＞ 21 lgbn+1。 （ 2）答案： C 解法一：由題意得方程組?????????????1 002 )12(22302 )1(11dmmmadmmma， 第 12 頁 共 26 頁 視 m 為已知數(shù)，解得212 )2(10,40 mmamd ???， ∴ 210402 )13(3)2(1032 )13(3322113 ???????? mmmmmmdmmamaS m。 （文）設(shè) ＝ lg（ bn）（ n∈ N） .若 a 取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛ ｝前多少項(xiàng)的和最大 ?試說明理由。 由 ＝ 3＋ lg2＋（ n＋ 21 ） lg0．