【正文】 從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù) m，題給數(shù)列前 3m 項的和是與 m 無關(guān)的不變量，在含有某種變 化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 第 11 頁 共 26 頁 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkk k . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說①式當(dāng) n=k+1 時也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對任何正整數(shù) n 都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 例 12．（ 1）（ 20xx 全國文， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列， Sn 為數(shù)列｛ an｝的前 n 項和，已知 S7＝ 7， S15＝ 75， Tn 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項和，求 Tn。 點評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。 ?2 充分性：設(shè)數(shù)列 }{nc 是公差為 2d 的等差數(shù)列，且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）， ∵ 21 32 ?? ??? nnnn aaac …… ① ∴ 4322 32 ???? ??? nnnn aaac …… ② ① － ② 得： )( 22 ?? ??? nnnn aacc )(2 31 ??? nn aa )(3 42 ?? ?? nn aa = 21 32 ?? ?? nnn bbb ∵ ???? ?? )( 12 nnnn cccc 221 2)( dcc nn ??? ?? ∴ 21 32 ?? ?? nnn bbb 2d?? …… ③ 從而有 321 32 ??? ?? nnn bbb 22d?? …… ④ ④ － ③ 得： 0)(3)(2)( 23121 ?????? ????? nnnnnn bbbbbb …… ⑤ ∵ 0)( 1 ??? nn bb ， 012 ?? ?? nn bb ， 023 ?? ?? nn bb ， ∴ 由 ⑤ 得： 01 ??? nn bb （ n=1,2,3,… ）， 由此，不妨設(shè) 3dbn? （ n=1,2,3,… ），則 2?? nn aa 3d? （常數(shù)） 故 3121 32432 daaaaac nnnnnn ?????? ??? …… ⑥ 從而 3211 324 daac nnn ??? ??? 31 524 daa nn ??? ? …… ⑦ ⑦ － ⑥ 得： 311 2)(2 daacc nnnn ???? ?? ， 故311 )(21 dccaa nnnn ???? ?? 3221 dd ??（常數(shù)）（ n=1,2,3,… ）， ∴ 數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 題型 3：數(shù)列的應(yīng)用 例 5．（ 05 廣東， 14）設(shè)平面內(nèi)有 n 條直線 )3( ?n ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用 )(nf 表示這 n 條直線交點的個數(shù)，則)4(f =____________；當(dāng) 4?n 時， ?)(nf （用 n 表示）。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n??? ? ? ? ? ?, 222 2 2 4 4nnb a n n n? ? ? ? ?。 四．典例解析 題型 1：數(shù)列概念 例 1． 根據(jù)數(shù)列前 4 項，寫出它的通項公式： （ 1） 1， 3， 5， 7??； （ 2） 2212? ， 2313? ， 2414? ， 2515? ； （ 3） 11*2?， 12*3， 13*4?， 14*5。 （ 4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 三．要點精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的 項。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一 至二個客觀性題目和一個解答題。例如， na = (1)n? = 1, 2 1 ()1, 2nk kZnk? ? ?? ?????； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。 （ 3） 等差中項的概念： 定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。 題型 2：數(shù)列的遞推公式 例 3． 如圖 ,一粒子在區(qū)域? ?( , ) | 0, 0x y x y??上運動 ,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點 1(0,1)B ,接著按圖中箭頭所示方向在x 軸、 y 軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度 。 由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在 。 題型 4：等差數(shù)列的概念 例 7．（ 20xx 天津理， 2）設(shè) Sn 是數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 Sn=n2，則 {an}是（ ） ，但不是等差數(shù)列 ，但不是等比數(shù)列 ，而且也是等比數(shù)列 答案： B； 解法一： an=??? ?? ?????? ?? ?? )2( 12)1( 1)2( )1( 11 nn nanSS nS nnn ∴ an=2n－ 1（ n∈ N） 又 an+1－ an=2 為常數(shù)，12 121 ???? nnaa nn≠常數(shù) ∴ {an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 . 解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于 n 的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。 點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。 a2 （ i）當(dāng) n=1 時已驗證①式成立。 于是 b1=30， b2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40。 （Ⅱ）∵函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10）遞減， ∴對每個自然數(shù) n，有 bn＞ bn＋ 1＞ bn＋ 2 則以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是 bn＋ 2＋ bn＋ 1＞ bn， 第 13 頁 共 26 頁 即（ 10a ） 2＋（ 10a － 1）＞ 0， 解得 a＜－ 5（ 1＋ 5 ）或 a＞ 5（ 5 － 1）， ∴ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10． （Ⅲ）（理）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10， ∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。數(shù)列的圖象是由一群孤立 的點構(gòu)成的。 （ 4）等差數(shù)列的前 n 項和公式 Sn＝21 naa?今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。 （ 1）三角形內(nèi)角和： A＋ B＋ C＝ π 。 4． 解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。； △ ABC 是正三角形的充分必要條件是∠ A，∠ B，∠ C 成等差數(shù)列且 a， b， c成等比數(shù)列。 ? sin c o sA A? ? 22 ① .0c o s,0s i n,180021c o ss i n221)c o s( s i n 2???????????AAAAAAA??? 23c oss i n21)c os(s i n 2 ???? AAAA?, ? ? ?sin c o sA A 62 ② ① + ② 得 sin A ? ?2 64 。且 2B=A+C，∴ B=60176。 當(dāng) A=60176。 題型 3：與三角形邊角相關(guān)的問題 例 5．（ 1） （ 20xx 江蘇 5） △ ABC 中， , 3,3A BC???則△ ABC 的周長為（ ） A． 4 3 si n( ) 33B ??? B． 4 3 si n( ) 36B ??? C． 6sin( ) 33B ??? D． 6sin( ) 36B ??? （ 2）（ 06 年全國 2 文， 17）在 254 5 , 1 0 , c o s5A B C B A C C? ? ? ? ? ?中 ，求（ 1） ?BC? （ 2）若點 D AB是 的 中 點 ， 求 中 線 CD 的 長 度 。 點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。 點評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角 和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力。 ∴acbc Bb ?? 60sinsin 2=sin60176。 解析：因為 A、 B、 C 成等差數(shù)列，又 A＋ B＋ C＝ 180176。故選 D。 點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。 。 解析：（ 1）因為 G 是邊長為 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG＝ 2 3 33 2 3? ＝ ，?MAG＝6?，由正弦定理 G M G Asi n si n66????＝ （ － － ）得 3GM6 si n 6??＝ （ ＋ ），則 S1＝北 20 10 A B ? ?C ?DAB CMN第 26 頁 共 26 頁 12 GM?GA?sin?＝ sin12sin 6? ??（ ＋ ）。 第 25 頁 共 26 頁 題型 7：正余弦定理的實際應(yīng)用 例 13．（ 06 上海理， 18） 如圖，當(dāng)甲船位于A 處時獲悉，在其正東方向相距 20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ，相距 10海里 C 處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援（角度精確到 1? ）？ 解析： 連接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－ 22010COS120176。 從而2CA?＝ 60176。 解法二：在△ ABC 中， 由面積公式得21bcsinA=21acsinB。 分析：因給出的是 a、 b、 c 之間的等量關(guān)系，要求∠ A，需找∠ A 與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。 解析： 由 A+B+C=π，得 B+C2 =π 2 － A2，所以有 cosB+C2 =sinA2。故選 D。 C=60176。 C=120176。 從而 s in 2 6 4ta n 2 3c o s 4 26AA A ?? ? ? ? ? ??。 解析：（ 1）根據(jù)三角形內(nèi)角 和定理， 0180 ( )? ? ?C A B 0 0 0180 ( )? ? ? ? ； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 8 1 . 8 8 0 . 1 ( )s in s in 3 2 . 0? ? ?aBb c mA； 根據(jù)正弦定理， 00s in 4 2 . 9s in 6 6 . 2 7 4 . 1 ( ) .s in s in 3 2 . 0? ? ?aCc c mA （ 2）根據(jù)正弦定理， 0s in 2 8 s in 4 0s in 0 . 8 9 9