【正文】 ? 則 57y kx k? ? ? ， 第 29 頁 共 35 頁 22( 5 7 ) 17 2 5x k x k????， ∴ 2225 7 ( 5 7 ) 7 25x k x k? ? ? ? ?， 2 2 2( 25 7 ) 7 2 ( 5 7 ) ( 5 7 ) 7 25 0k x k x k k? ? ? ? ? ? ? ? ?， 當(dāng) 577k?時，方程無解，不滿足條件； 當(dāng) 577k??時， 2 5 7 10 75x? ? ?方程有一解，滿足條件； 當(dāng) 2 257k ?時，令 2 2 2[ 14 ( 5 7 ) ] 4( 25 7 ) [ ( 5 7 ) 16 5 ] 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 化簡得： k 無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條 7x? 和 57 107yx? ? ?。 例 5． （ 1）求直線 1yx??被雙曲線 22 14yx ??截得的弦長； （ 2）求過定點 (0,1) 的直線被雙曲線 22 14yx ??截得的弦中點軌跡方程。 例 9． 20xx 上海春， 4）直線 y=x－ 1 被拋物線 y2=4x 截得線段的中點坐標(biāo)是 _____. 答案：（ 3， 2） 解法一：設(shè)直線 y=x－ 1 與拋物線 y2=4x 交于 A(x1， y1),B（ x2， y2） ,其中點為 P（ x0，y0）。 kOR=－ 1， 即有 x1x2+y1y2=0. 又 Q、 R 為直線 x+y=m 上的點， 因而 y1=－ x1+m， y2=－ x2+m. 于是 x1x2+y1y2=2x1x2－ m（ x1+x2） +m2=2（ m2－ p）－ m（ 2m+p） +m2=0， ∴ p=f（ m） = 22?mm ， 由??? ???? 044 0 pmp 得 m＞－ 2， m≠ 0； 第 33 頁 共 35 頁 （ 3）（文）由于拋物線 y2=p（ x+1）的焦點 F 坐標(biāo)為（－ 1+4p ， 0），于是有 222|041| ????? mp ，即 |p－ 4m－ 4|=4. 又 p= 22?mm ∴ | 2 8123 2 ? ??m mm |=4. 解得 m1=0， m2=－ 38 ， m3=－ 4， m4=－ 34 . 但 m≠ 0 且 m＞－ 2，因而舍去 m m m3，故所求直線方程為 3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點 O 到直線 x+y=m 的距離不大于 22 ， 于是 222 |00| ??? m，∴ |m|≤ 1. 由（ 2），知 m＞－ 2 且 m≠ 0， 故 m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ . 由（ 2），知 f（ m） = 22?mm =（ m+2） + 24?m － 4， 當(dāng) m∈［－ 1， 0）時，任取 m m2， 0＞ m1＞ m2≥－ 1，則 f（ m1）－ f（ m2） =（ m1－ m2） +（2424 21 ??? mm） =（ m1－ m2）［ 1－)2)(2( 4 21 ?? mm］ . 由 0＞ m1＞ m2≥－ 1，知 0＜（ m1+2）（ m2+2）＜ 4， 1－)2)(2( 4 21 ?? mm＜ 0. 又由 m1－ m2＞ 0 知 f（ m1）＜ f（ m2）因而 f（ m）為減函數(shù) . 可見，當(dāng) m∈［－ 1， 0）時， p∈（ 0， 1］ . 第 34 頁 共 35 頁 同樣可證，當(dāng) m∈（ 0， 1］時， f（ m）為增函數(shù)，從而 p∈（ 0， 31 ］ . 解法二：由解法一知， m∈［－ 1， 0）∪（ 0， 1］ .由（ 2）知 p=f（ m） =2221 12mmmm???. 設(shè) t= m1 ， g（ t） =t+2t2，則 t∈（－∞，－ 1］∪［ 1， +∞），又 g（ t） =2t2+t=2（ t+41 ） 2－ 81 . ∴當(dāng) t∈（－∞，－ 1］時， g（ t）為減函數(shù)， g（ t）∈［ 1， +∞） . 當(dāng) t∈［ 1， +∞）時， g（ t）為增函數(shù)， g（ t）∈［ 3， +∞） . 因此，當(dāng) m∈［－ 1， 0］時， t∈（－∞，－ 1］， p=)(1tg∈（ 0， 1］； 當(dāng) m∈（ 0， 1］時， t∈［ 1， +∞）， p∈（ 0， 31 ］ . 點評：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標(biāo) x、 y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。 五．思維總結(jié) 1．加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí) 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點。 故中點為 P（ 3， 2）。 解析：設(shè)雙曲線的方程為 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， ( ,0)Fc ，漸近線 byxa?，則過 F 的直線方程為 ()ay x cb?? ?，則 2 2 2 2 2 2 0()b x a y a bay x cb? ? ? ??? ? ? ???， 代入得 4 4 2 4 4 2 2 4( ) 2 0b a x a c x a c a b? ? ? ? ?， 第 31 頁 共 35 頁 ∴120 0xx???? ??即得 44ba? ， ∴ ba? ，即得到 2e? 。 故當(dāng) 36 ???? a 或 63a? 時， A、 B 兩點在同一支上；當(dāng) 33 a?? 時， A、 B兩點在雙曲線的兩支上。 點評：本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程 的實根分布也進(jìn)行了簡單的考查。 由題意知： )22(31: ?? xyl與 19 22 ??yx 聯(lián)立消去 y 得：0152124 2 ??? xx 。 三．要點精講 1． 點 M(x0， y0)與圓錐曲線 C： f(x， y)=0 的位置關(guān)系 2． 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。 ④對稱思想 由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質(zhì)，可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決。 例 8．（ 06 重慶文， 22） 如圖，對每個正整數(shù) n ，( , )n n nA x y 是拋物線 2 4xy? 上的點，過焦點 F 的直線 nFA 角拋物線于另一點 ( , )n n nB s t 。 第 17 頁 共 35 頁 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22145 9xy?? ② 點 P(5,2)、 F1(6,0)、 F2(6,0)關(guān)于直線 y=x 的對稱點分別為點 P， (2， 5)、 F1， (0， 6)、F2， (0， 6)。2F ，求以 39。 點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的能力。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè) P 為右準(zhǔn)線上不同于點（ 4， 0）的任意一點，若直線 ,APBP 分別與橢圓相交于異于 ,AB的 點 MN、 ，證明點 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)。 22 2 2 2 2442mSm m m? ? ? ?? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 4mm?即 2m? 時，max 22S ?，此時 142k??。 （ 3） 解：設(shè)橢圓方程為 22 1( )xy abcab? ? ? ? （Ⅰ）由已知得22 2 22 4bcaca b c????????? ???222211abc? ????? ??∴所求橢圓方程為 2 2 12x y??。 因為 |y|≤ 1,a1, 若 a≥ 2, 則 | 11－ a2|≤ 1, 當(dāng) y= 11－ a2時 , |PQ|取最大值 a2 a2－ 1a2－ 1 ， 若 1a 2,則當(dāng) y=－ 1 時 , |PQ|取最大值 2。由橢圓的定義知： | | | |PB PF? ? 10， 所以 | | | | | | | | | | | | (| | | | )PB PF PA PB PA PF PA PF? ? ? ? ? ? ? ? ?10 10 10，所以。 點評：抓住△ F1AB 中 | |OF c1? 為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。 ∵ 1 0y? ， ∴ 0y? 。 （ 2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法 。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。 “代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程 f(x,y)=0 常常用到一些公式。 1．求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考察學(xué)生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力； 2．與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問題、靈活運用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。 預(yù)測 07 年高考： 1．出現(xiàn) 1 道復(fù)合其它知識的圓錐曲線綜合題； 2．可能出現(xiàn) 1 道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出 現(xiàn)在解答題中間的小問。 “化”：化簡 化方程 f(x,y)=0 為最簡形式。 幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。 （ 3）實際應(yīng)用題 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓 錐曲線相關(guān)的實際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計、探照燈反光鏡的設(shè)計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。 已知點 P 在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有 2 2(3 ) (3 ) 1( 0 )9x yy? ? ? 即所求重心 M 的軌跡方程為： 229 1( 0)x y y? ? ?。 （ 2） 解析：由雙曲線的定義， 得： | | | |PF PF a1 2 2? ? ， 又 | | | |PF PF1 24? ，所以 3 22| |PF a? ，從而 | |PF a2 23? 第 6 頁 共 35 頁 由雙曲線的第二定義可得 | |PFx acca22? ?， 所以 x ac?532。 由平面幾何知識， || | | || | |PA PF AF? ? ，即 (| | | | ) | |m inPA PB AF? ? ?10， 而 | | ( ) ( )AF ? ? ? ? ?3 4 2 0 52 2， 所以 (| | | | ) m inPA PB? ? ?10 5。 （ 2）① 由已知得橢圓的半長軸 a=2,半焦距 c= 3 ,則半短軸 b=1， 又橢圓的焦點在 x 軸上 , ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 14 22 ??yx 。 （ Ⅱ ） 解 法 一 ： 由 題 意 知 直 線 l 的 斜 率 存 在 ， 設(shè) 直 線 l 的方程為第 9 頁 共 35 頁 1 1 2 22 , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y?? 由 22212y kxx y????? ????，消去 y 得關(guān)于 x 的方 程： 22(1 2 ) 8 6 0k x k x? ? ? ?， 由直線 l 與橢圓相交于 A、 B 兩點， 220 64 24( 1 2 ) 0kk? ? ? ? ? ?，解得 2 32k ?。 所以，所求直線方程為 14 2 4 0y? ? ? ? 解法二：由題意知直線 l 的斜率存在且不為零。 （ 3）（ 06 上海理， 20）在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中，直線 l 與拋物線 2y ＝ 2x 相交于A、 B 兩點。 （ 3） 證明： ① 設(shè)過點 T(3,0)的直線 l 交拋物線 y2=2x 于點 A(x1,y1)、 B(x12,y2). 當(dāng)直線 l的鈄率下存在時 ,直線 l的方程為 x=3,此時 ,直線 l與拋物線相交于 A(3, 6 )、B(3,－ 6 )， ∴ OBOA? =3。1F 、 39。 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22112211 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?。 （Ⅰ）試證： 4( 1)nnx s n? ? ? ； （Ⅱ）取 2nnx ? ，并記 nC 為拋物線上分別以 nA與 nB 為切點的兩條切線的交點。 ⑤參數(shù)思想 參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來劃分運動變化狀態(tài)，利