【正文】 k? ? ? ? ?， ∴ 216 80 ,| | 5kk??， 且 1 2 1 22225,44kx x x xkk? ? ? ???， ∴ 1 2 1 2 1 2221 1 1 4( ) , ( ) ( ) 12 4 2 2 4kx x x y y y x xkk? ? ? ? ? ? ? ? ???， 22444kxky k? ??? ??? ???? 得 224 0 ( 4x y y y? ? ? ? ?或 0)y? 。 （ 2）把 1??kxy 代入 13 22 ??yx 整理得： 022)3( 22 ???? axxa ?? （ 1） 當(dāng) 3??a 時(shí)， 2424 a??? 。 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由 F1（ 0， 50 ）知， c= 50 ， 5022 ??? ba ，最后解關(guān)于 a、 b 的方程組即可。 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)： ||PF ed ?（點(diǎn) P 是圓錐曲線上的任意一點(diǎn)， F 是焦點(diǎn)， d 是 P 到相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的準(zhǔn)線的距離， e 是離心率）。 二．命題走向 第 25 頁 共 35 頁 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等。 3．重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過程 ①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡(jiǎn)化解題運(yùn)算量。 題型 4：知識(shí)交匯題 例 7．（ 06 遼寧 ,20） 已知點(diǎn) 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx? 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , O 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,向量 OA ,OB 滿足 O A O B O A O B? ? ?.設(shè)圓 C 的方程為 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? (I) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 。 O 第 16 頁 共 35 頁 已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ － 2， 1） . 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C 的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因?yàn)?A， B 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱 . 所以 .294 9182 2221 ??? ???? k kkxx 解得98?k， 所以直線 l 的方程為 ,1)2(98 ??? xy 即 8x9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意 ) 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ － 2， 1） . 設(shè) A， B 的坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,(x2,y2).由題意 x1? x2 且 ,1492121 ?? yx ① ,1492222 ?? yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因?yàn)?A、 B 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 （ 2）（ 06 江蘇， 17） 已知三點(diǎn) P（ 5， 2）、 1F （－ 6， 0）、 2F （ 6， 0）。 BP ＝25（ 2－ x0） . ∵ 2－ x00，∴ BM 處理韋達(dá)定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。 又 0S? ， 20 2S? ? ? ，從而 AOBS 的最大值為 22S? ， 第 10 頁 共 35 頁 此時(shí)代入方程（ *）得 424 28 49 0kk? ? ?， 142k? ??。 于是 S△ ABC=14 4114 144 222???? ?? k kk kk。 （ 3）（ 06 山 東文， 21） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為 l。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于 a、 c 的不等式，從而得出 e 的取值范圍。 題型 2：圓錐曲線中最值和范圍問題 第 5 頁 共 35 頁 例 3．（ 1） 設(shè) AB 是過橢圓 xa yb a b22 22 1 0? ? ? ?( )中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為F c1 0( )? ， ，則△ F1AB 的面積最大為（ ） A. bc B. ab C. ac D. b2 （ 2）已知雙曲線 xa yb a b22 22 1 0 0? ? ? ?( )，的左右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，點(diǎn) P 在雙曲線的右支上，且 | | | |PF PF1 24? ，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. 43 B. 53 C. 2 D. 72 （ 3）已知 A（ 3， 2）、 B（－ 4， 0）， P 是橢圓 x y2 225 9 1? ?上一點(diǎn)，則 |PA|＋ |PB|的最大值為（ ） A. 10 B. 10 5? C. 10 5? D. 10 2 5? 解析：（ 1）如圖，由橢圓對(duì)稱性知道 O 為 AB 的中點(diǎn)，則△ F1OB 的面積為△ F1 AB面積的一半。 解析：（ 1）（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為 ( , )Mx y ，半徑為 R ，設(shè)已知圓的圓心分別為 1O 、2O ， 將圓方程分別配方得： 22( 3) 4xy? ? ?， 22( 3) 100xy? ? ? ， 當(dāng) M 與 1O 相切時(shí)，有 1| | 2O M R?? ① 當(dāng) M 與 2O 相切時(shí)，有 2| | 10O M R?? ② 將 ① ② 兩 式 的 兩 邊 分 別 相 加 ， 得21| | | | 12O M O M??， 即 2 2 2 2( 3 ) ( 3 ) 1 2x y x y? ? ? ? ? ? ③ 移項(xiàng)再兩邊分別平方得： 222 ( 3 ) 1 2x y x? ? ? ? ④ 兩邊再平方得： 223 4 108 0xy? ? ?， 整理得 22136 27xy??， 所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 22136 27xy??，軌跡是橢圓。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。 這五個(gè)步驟 (不包括證明 )可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn) (限 )代化” （ 2） 求曲線方程的常見方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來求解。 (2) 沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。第 1 頁 共 35 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 35） — 曲線方程及圓錐曲線的綜合問題 一．課標(biāo)要求： 1． 由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練； 2． 通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想 ； 3． 了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 (1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。 要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上 (即要注意方程變量的取值范圍 )。 2．圓錐曲線綜合問題 （ 1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題 通常有兩類：一類是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾 何元素的最值問題。 （ 2） 雙曲線 2 2 19x y??有動(dòng)點(diǎn) P ， 12,FF是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 12PFF? 的重心 M的軌跡方程。 解析：（ 1）答案： x2－ 4y2＝ 1 設(shè) P（ x0， y0） ∴ M（ x， y） ∴ 2,2 00 yyxx ?? ∴ 2x＝ x0， 2y＝ y0 ∴ 442x － 4y2＝ 1? x2－ 4y2＝ 1 點(diǎn)評(píng)：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。 點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn) P 在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系 532ac a?成立的條件。 （ 2） （ 06 上海文， 21）已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ( 3,0)F ? ,右頂點(diǎn)為 (2,0)D ,設(shè)點(diǎn) 11,2A??????. ① 求 該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ； ② 若 P 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段 PA 中點(diǎn) M 的軌跡方程； ③過原點(diǎn) O 的直線交橢圓于點(diǎn) ,BC，求 ABC? 面積的最大值 。 當(dāng)直線 BC 不垂直于 x 軸時(shí) ,說該直線方程為 y=kx,代入 14 22 ??yx, 解得 B(1422 ?k,1422 ?kk),C(－1422 ?k,－1422 ?kk)， 則224114 kkBC ???,又點(diǎn) A 到直線 BC 的距離 d=2121kk?? ， ∴ △ ABC 的面積 S△ ABC=2411221kkdAB???? 。 22221 1 6 2 4 2 2 2 3||2 1 2 1 2A O B kkS A B d kk??? ? ? ???. 解法 1：對(duì) 2216 2412kS k?? ?兩邊平方整理得： 2 4 2 2 24 4( 4) 24 0S k S k S? ? ? ? ?（ *）， ∵ 0S? ，2 2 2 2222216 ( 4) 4 4 ( 24 ) 0 ,4 024 04S S SSSSS?? ? ? ? ? ???? ???? ????，整理得： 2 12S ?。 點(diǎn)評(píng)：文科 06 年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題，主要是三角形的面積、弦長(zhǎng)問題。 BP ＝ 2x0－ 4＋26020?xy＝220?x（ x02－ 4＋ 3y02） . ○ 2 將 ○ 1 代入 ○ 2 ，化簡(jiǎn)得 BM 例 6．（ 1）（ 06 北京文， 19） 橢圓 C: 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1,F2,點(diǎn) P在橢圓 C 上，且1 1 2 1 24 1 4, | | , | | .33P F F F P F P F? ? ? （Ⅰ）求橢圓 C 的方程； （Ⅱ）若直線 l 過圓 x2+y2+4x2y=0 的圓心，交橢圓 C 于 ,AB兩點(diǎn)，且 A、 B 關(guān)于點(diǎn)M 對(duì)稱，求直線 l 的方程 。 (Ⅱ )設(shè) A， B 的坐標(biāo)分別為（ x1,y1）、（ x2,y2）。 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。二要引導(dǎo)如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 34） — 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 1．通過 圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想； 2．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判定及其相關(guān)問題 。 則弦長(zhǎng)公式為： d= 221221 )()( yyxx ??? = 2212 ))(1( xxk ?? =22)1(ak Δ?= Δ|| )1(2ak?。 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為 ),(),( 2211 yxByxA ，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： 22221 912 ba bxx ???，又 AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為21，21962 22 221 ????? ba bxx 22 3ba ?? ，與方程 5022 ??ba 聯(lián)立可解出 25,75 22 ?? ba 故所求橢圓的方程為： 12575 22 ?? yx 。 （ 2）直線 1??kxy 與雙曲線 13 22 ??yx 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，當(dāng) a 為何值時(shí)， A、B 在雙曲線的同一支上？當(dāng) a 為何值時(shí)， A、 B 分別在雙曲線的兩支上？ 解析：（ 1） 解：若直線的斜率不存在時(shí)，則 7x? ，此時(shí)僅有一 個(gè)交點(diǎn) ( 7,0) ，滿足條件； 若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 5 ( 7 )y k x? ?