【正文】 ?b cm ， ?c cm ，解三角形 解析：（ 1）∵ 2 2 2 2 co s? ? ?b a c a c B = 22(2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 )? ? ? ? ? ?cos 045 = 212 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1)? ? ? ? =8 ∴ 2 2.?b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵ cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 ( 6 2 )? ? ? ? ?? ? ?? ? ?b c aA bc ∴ 060.?A 解法二：∵ sin 023s in s in 4 5 ,22? ? ?aABb 第 4 頁 共 24 頁 又∵ 62? ＞ ,?? 23＜ 2 ,?? ∴ a ＜ c ，即 0 ＜ A ＜ 090, ∴ 060.?A （ 2）由余弦定理的推論得： cos 2 2 22???b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7??? ?? ,? 05620??A ； cos 2 2 22???c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7??? ?? ,? 03253??B ； 0 0 0 0180 ( ) 180 ( 56 20 32 53 )??? ? ? ? ? ?C A B 09047.?? 點評：應用余弦定理時解法二應注意確定 A 的取值范圍。 以下解法略去。－ A。 。 （ 2）解：（ 1）由 2 5 5c o s s in55CC??得， 2 3 1 0s in s in ( 1 8 0 4 5 ) ( c o s s in )2 1 0A C C C? ? ? ? ? ?， 由正弦定理知 10 3 10si n 3 2si n 1022ACBC AB? ? ? ? ?， 第 7 頁 共 24 頁 （ 2） 10 5sin 2sin 522ACA B CB? ? ? ? ?， 1 12BD AB??。 cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1－ 2sin2A2 + 2sinA2 =－ 2(sinA2 － 12)2+ 32； 當 sinA2 = 12，即 A=π 3 時 , cosA+2cosB+C2 取得最大值為 32。由 b2=ac 可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。 ∵ b2=ac，∠ A=60176。故 tan 32 ??CA.由兩角和的正切公式， 得 32ta n2ta n12ta n2ta n ???CACA。=700. 于是 ,BC=10 7 。同理可求得 S2＝ sin12sin 6? ??（ － ）。重點體會向量為代數(shù)幾何的結合體，此類題難度不大，分值 5~9 分。投影的絕對值稱為射影； （ 3）數(shù)量積的幾何意義： a （ 6）垂直：如果 a 與 b 的夾角為 900 則稱 a 與 b 垂直，記作 a ⊥ b 。 點評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點清楚 a?0 為零向量，而 a?0 為零。 c ） a －（ c 178。 a － 4b 178。 C． 120176。如果向量 1b 、 2b 、 3b ，滿足 ||2|| ii ab ? ，且 ia 順時針旋轉 30o 后與 ib 同向，其中 1,2,3i? ，則（ ） A．－ 1b + 2b + 3b =0 B． 1b 2b + 3b =0 C． 1b + 2b 3b =0 D． 1b + 2b + 3b =0 （ 2）（ 06 湖南理， 5）已知 ,0||2|| ?? ba 且關于 x 的 方程 0||2 ???? baxax 有實根 , 則 a 與 b 的夾角的取值范圍是（ ） A． ]6,0[ ? B． ],3[ ?? C． ]32,3[ ?? D． ],6[ ?? 解析：（ 1） D；（ 2） B； 點評：對于平面向量的數(shù)量積要學 會技巧性應用，解決好實際問題。 解析：∵ ba// ，∴ 1221 yxyx ? ，∴ x362 ?? ，∴ 4?x 。 1||||||||2222 ??????????dcbabdacyxyx ，? 點評：在向量這部分內容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式結構的式子，如| | | | | | | | | | | | | | | | | |a b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ；等。 點評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。 例 12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。 五．思維總結 1．兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 （ 1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由 cos?的符號所決定； 第 23 頁 共 24 頁 （ 2）兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成 a 3． 向量知識，向量觀點在數(shù)學 .物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而 它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視 . 數(shù)量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂直； 4．注重數(shù)學思想方法的教學 ①．數(shù)形結合的思想方法。我們可以預測近兩年向量高考題的難度不會也不 應該上升到壓軸題的水平。 ③．分類討論的思想方法。”代替； （ 3）在實數(shù)中，若 a?0，且 a?b=0，則 b=0；但是在數(shù)量積中，若 a ?0，且 a ?b =0，不能 推出 b =0 。在數(shù)學的各個分支和相關學科中有著廣泛的應用。 題型 6：平面向量在幾何圖形中的應用 例 11．（ 20xx 年高考題）已知兩點 )01()01( ， NM ? ，且點 P（ x， y）使得 ???MNMP ，???? ?? NPNMPNPM ， 成公差小于零的等差數(shù)列。 － 178。 點評：此例展示了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的基本運算 。 a? ＝０ ? 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； 即 25x+24y＝０ ①； 又｜ xa? +yb? ｜ =1? ｜ xa? +yb? ｜ ２ ＝１； ? （３ x+4y） ２ ＋（４ x+3y） ２ ＝１； 整理得 25x２ ＋ 48xy+25y２ ＝１即 x(25x+24y)+24xy+25y２ ＝１ ②； 由①②有 24xy+25y２ ＝１ ③； 將①變形代入③可得： y=177。 （ 4） C； 設所求兩向量的夾角為 ? c a b c a? ? ? ? ?? ? ?　 　 2. ( ) . . 0c a a b a a a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2| | | || | c osa a b ?? ? ?? ? ? 即： 2| | | | 1c o s2| || | | |aaa b b???? ? ??? ? ? ? ? 所以 ?? 點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式||||cos ba ba ????，要掌握向量坐標形式的運算。 題型 2：向量的夾角 例 3．（ 1）（ 06 全國 1 文， 1） 已知向量 a 、 b 滿足 1|| ?a 、 4|| ?b ，且 2??ba ，則 a 與 b 的夾角為（ ） A．6? B．4? C．3? D．2? （ 2）（ 06 北京文， 12）已知向量 a =(cos? ,sin? ),b =(cos? ,sin? ),且 a ?? b ，那么 ba? 與 ba? 的夾角的大小是 。 c －（ c 178。 c ） a －（ c 178。 如果表示向量 a 的有向線段的起點和終點的坐標分別為 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx ，那么221221 )()(|| yyxxa ???? (平面內兩點間的距離公式 )。 ④向量的夾角： cos? = co s , ababab?? ???=22222121 2121 yxyxyyxx???? 。 （ 2）數(shù)量積的概念 已知兩個非零向量 a 與 b ，它們的夾角為 ? ，則 a 2．三角形內切圓的半徑： 2Srabc?? ??，特別地，2a b cr ??? 斜直； 3．三角學中的射影定理：在△ ABC 中， AcCab c o sc o s ???? ，? 4．兩內角與其正弦值：在△ ABC 中， BABA s ins in ??? ，? 5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。方向沿直線前往 B 處救援 。 例 12．（ 06 安徽理， 11） 如果 1 1 1ABC? 的三個內角的余弦值分別等于 2 2 2ABC? 的三個內角的正弦值，則（ ） A． 1 1 1ABC? 和 2 2 2ABC? 都是銳角三角形 B． 1 1 1ABC? 和 2 2 2ABC? 都是鈍角三角形 C． 1 1 1ABC? 是鈍角三角形， 2 2 2ABC? 是銳角三角形 D． 1 1 1ABC? 是銳角三角形， 2 2 2ABC? 是鈍角三角形 解析： 1 1 1ABC? 的三個內角的余弦值均大于 0，則 1 1 1ABC? 是銳角三角形， 若 2 2 2ABC? 是銳角三