【正文】 7≥ 0， 得 n≤ ，∴ n=20。 （ 2） 等差數(shù)列的通項(xiàng)為 an＝ a1＋（ n－ 1） d．可整理成 an＝ an＋（ a1－ d），當(dāng) d≠ 0時(shí)， an 是關(guān)于 n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么 n 為自然數(shù)的點(diǎn)的集合。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 27） — 正、余弦定理及應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： （ 1） 通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題 ； （ 2） 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何 計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 。； （ 3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝ cosB＝ca， cosA＝ sinB＝cb， tanA＝ba。（ R 為外接圓半徑） （ 5）△＝Rabc4； （ 6）△＝ ))()(( csbsass ??? ； ?????? ??? )(21 cbas； （ 7）△＝ r r 為三角形內(nèi)切圓半徑， p 為周長(zhǎng)之半。 .21)45c o s (,22)45c o s (2c o ss i n??????????AAAA 又 0 180? ?? ?A , 45 60 , 105 .AA? ? ? ? 13ta n ta n ( 4 5 6 0 ) 2 313A ?? ? ? ? ? ? ??, 第 19 頁(yè) 共 26 頁(yè) .4 6260s i n45c os60c os45s i n)6045s i n(105s i ns i n ??????? ???????A S AC AB AABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 12 2 3 2 64 34 2 6s i n ( )。（ 1）求 A、 B． C的大??；（ 2）求Δ ABC的的面積。∴ A=60176。 C=15176。 解析：（ 1）因?yàn)殇J角△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ ?， 22sin 3A? ，所以 cosA＝ 13， 則 22 2 22BCsinB C A A2ta n sin sinBC2 2 2c o s21 c o s B C 1 1 c o s A 1 71 c o s A1 c o s B C 2 1 c o sA 3 3＋＋ ＋ ＝ ＋＋－ （ ＋ ） ＋＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝＋ （ ＋ ） － （ 2）A B C A B C 1 1 2 2S 2 S b c s in A b c2 2 3?因?yàn)?＝ ，又 ＝ ＝，則 bc＝ 3。 解析：（ Ⅰ）∵ 1mn?? ∴ ? ? ? ?1, 3 c o s , sin 1AA? ? ?，即 3 si n cos 1AA??， 312 s in c o s 122AA??? ? ? ?????， 1sin 62A ?????????； ∵ 50,6 6 6AA? ? ??? ? ? ? ? ?，∴66A ????，∴3A?。 在△ ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 ??=bcbc2=21，∴∠ A=60176。 評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。 題型 6：正、余弦定理判斷三角形形狀 例 11．（ 20xx 上海春， 14）在△ ABC 中，若 2cosBsinA＝ sinC，則△ ABC 的形狀一定是（ ） 答案： C 解析： 2sinAcosB＝ sin（ A＋ B）＋ sin（ A－ B）又∵ 2sinAcosB＝ sinC， ∴ sin（ A－ B）＝ 0，∴ A＝ B 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過(guò)觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。 ∴ 乙船應(yīng)朝北偏東 71176。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)4()f t t t??，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？ 五．思維總結(jié) 1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是： （ 1）已知兩角和一邊（如 A、 B、 C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知兩邊和夾角（如 a、 b、 c），應(yīng)用余弦定理求 c 邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角， 然后利用 A+B+C = π，求另一角； （ 3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如 a、 b、 A），應(yīng)用正弦定理求 B，由 A+B+C = π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況； （ 4）已知三邊 a、 b、 c，應(yīng)余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = π，求角 C。 （ 2） y＝221211yy＋＝ 222144 s in s ins in 6 6?????〔 （ ＋ ）＋ （ － ）〕＝ 72（ 3＋ cot2?）因?yàn)?233?????， 所以當(dāng) ?＝3?或 ?＝ 23?時(shí)， y 取得最大值 ymax＝ 240，當(dāng) ?＝2?時(shí)， y 取得最小值 ymin＝ 216。 ∵710120sin20sin ??A CB， ∴ sin∠ ACB=73， ∵∠ ACB90176。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA ??? 第 24 頁(yè) 共 26 頁(yè) 32t a n2t a n32t a n2t a n ??? CACA ?！?bcsinA=b2sinB。 解法一：∵ a、 b、 c 成等比數(shù)列，∴ b2=ac。 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。 由余弦定理知： 22 2 c os21 18 2 1 3 2 132CD B D B C B D B C B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評(píng)：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知識(shí)的運(yùn)用。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時(shí) 當(dāng) A=105176。 第 20 頁(yè) 共 26 頁(yè) ∵22)c os (22s i ns i n ???? CACA， ∴ )]60(s i n21[22c os2 3s i n21 02 ???? AAA=22， .2 2)60s i n(0)60s i n(,0)]60s i n(21)[60s i n( 0000 ?????????? AAAA 或 又∵ 0176。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒 等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。 題型 2：三角形面積 例 3． 在 ?ABC 中， sin cosA A? ? 22， AC?2 ， AB?3 ，求 Atan 的值和 ?ABC的面積。 （ 1）角的變換 因?yàn)樵?△ ABC 中， A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－ cosC； tan(A+B)=－ tanC。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2＝ c2＋ a2－ 2cacosB； c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC。 （ 1）三邊之間的關(guān)系： a2＋ b2＝ c2。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （ 1）在等差數(shù)列 ??na 中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)； （ 2）在等差數(shù)列 ??na 中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是 AP ， 如： 1a ， 3a ， 5a ，7a ，??； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，??； （ 3 ）在等差數(shù)列 ??na 中，對(duì)任意 m ， nN?? ， ()nma a n m d? ? ? ，nmaad nm?? ? ()mn? ； （ 4 ）在等差數(shù)列 ??na 中，若 m ， n ， p ， qN?? 且 m n p q? ? ? ，則m n p qa a a a? ? ? ； 5． 說(shuō)明：設(shè)數(shù)列 {}na 是等差數(shù)列 ，且公差為 d ，（ Ⅰ ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n 項(xiàng)，則 ① S 奇 ? S 偶 nd? ； ② 1nnS aSa??奇偶； （ Ⅱ ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 21n? 項(xiàng)，則 ① S第 15 頁(yè) 共 26 頁(yè) 偶 ? S 奇 naa??中 ； ②1S nSn? ?奇偶。 2．等差數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)： （ 1）等差數(shù)列定義 an＋ 1－ an＝ d（常數(shù)）（ n ?N），這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項(xiàng)，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常數(shù)）就說(shuō)｛ an｝是等差數(shù)列這樣的錯(cuò)誤，判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。 （文）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10，∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。 例 14．（ 20xx 上海， 21）在 XOY 平面上有一點(diǎn)列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），?，Pn（ an， bn），?，對(duì)每個(gè)自然數(shù) n，點(diǎn) Pn 位于函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的圖象上，且點(diǎn) Pn、點(diǎn)（ n， 0）與點(diǎn)（ n+1， 0）構(gòu)成一個(gè)以 Pn 為頂點(diǎn)的等腰三角形。 評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對(duì)一些綜合性的問(wèn)題要先理清思路再行求解。 （ 2）（ 1998 全國(guó)文， 25）已知數(shù)列｛ bn｝是等差數(shù)列， b1=1， b1+b2+? +b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛ bn｝的通項(xiàng) bn； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng) an=lg（ 1+nb1 ），記 Sn 是數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和，試比較Sn 與 21 lgbn+1 的大小，并證明你的結(jié)論。 例 10．（ 1）（ 20xx 湖南 16）已知數(shù)列 ))}1({ lo g *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且.9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明 .111112312 ??????? ? nn aaaaaa ? 解析：（ 1）（ I） 解：設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d。 綜上所述： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb（ n=1,2,3,… ）。 答案： 5， )2)(1(21 ?? nn 解析：由圖 B 可得 5)4( ?f ， 由 2)3( ?f ， 5)4( ?f ， 9)5( ?f ， 14)6( ?f ， 圖 B 第 5 頁(yè) 共 26 頁(yè) 可推得∵ n 每增加 1，則交點(diǎn)增加 )1( ?n 個(gè)， ∴ )1(432)( ?????? nnf ?2 )2)(12( ???? nn )2)(1(21 ??? nn。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n? ? ? ? ? ?, 即 2nc n n??。 解析：（ 1） na =2 1n? ； （ 2） na = 2( 1) 11n n??? ； （ 3） na = ( 1)( 1)nnn??。 （ 5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列 ??na 的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng) na 與它的前一項(xiàng) 1na? （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè) 數(shù)列的遞推公式。記作 na ，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第 2 項(xiàng)，??，序號(hào)為 n 的項(xiàng)叫第 n 項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作 na ； 數(shù)列的一般形式： 1a ， 2a ， 3a ，??， na ，??，簡(jiǎn)記作 ?