【正文】 數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號： 1 2 3 4 5 6 項 ： 4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。 2．等差數(shù)列 （ 1） 等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。其中2abA ?? a ， A ， b 成等差數(shù)列 ? 2abA ?? 。 點評： 每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成 是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 （ 1）設(shè)粒子從原點到達點 n n nA B C、 、 時，所經(jīng)過的時間分別為 nnna、 b、 c ，試寫出}nnna{}、 {b }、 {c的通相公式； （ 2）求粒子從原點運動到點 (16,44)P 時所需的時間； （ 3）粒子從原點開始運動，求經(jīng)過 20xx 秒后，它所處的坐標新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/。 0C 5C 4C 3C 2B 5B 4B 3B 2A 6A 5A 4A 3A 2C 1B 1A 1 xy第 4 頁 共 26 頁 （ 2）有圖形知，粒子從原點運動到點 (16,44)P 時所需的時間是到達點 44C 所經(jīng)過得時間 44c 再加（ 44－ 16）＝ 28 秒， 所以 244 44 28 20xxt ? ? ? ?秒 。 例 4． （ 1）已知數(shù)列 ??na 適合： 1 1a? ， 1na? 22nnaa? ?，寫出前五項并寫出其通項公式； （ 2）用上面的數(shù)列 ??na ，通過等式 1n n nb a a ??? 構(gòu)造新數(shù)列 ??nb ，寫出 nb ， 并寫出 ??nb 的前 5 項。 點 評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。 點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=Sn－ Sn－ 1 的推理能力 .但不要忽略 a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。 證法二： 令 An = a n+1 a n，由 b n≤ b n+1 知 a n a n+2≤ a n+1 a n+3。 題型 5：等差數(shù)列通項公式 例 9． （ 20xx 年全 國卷 I）設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ，1 2 3 80aa a ? ，則 11 12 13a a a? ? ?（ ） A． 120 B． 105 C． 90 D． 75 解析： 1 2 3 2 215 3 15 5a a a a a? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ?1 2 3 2 2 280 80a a a a d a a d? ? ? ? ?，將 2 5a? 代入，得 3d? ，從而 ? ? ? ?11 12 13 12 23 3 10 3 5 30 105a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? ?。 由 ,8l o g2l o g)2( l o g29,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 a3＝ 48，∵ a2＝ 4，∴ a1 解析：（ 1）設(shè)等差數(shù)列｛ an｝的公差為 d，則 Sn=na1＋ 21 n（ n－ 1） d．∴ S7＝ 7， S15＝ 75， ∴??? ?? ?? ,7510515 ,721711 da da 即 ??? ?? ?? ,57 ,1311 da da 解得 a1＝－ 2， d＝ 1．∴ nSn ＝ a1＋ 21 （ n－ 1） d＝－ 2＋ 21 （ n－ 1）。 （ ii）假設(shè)當 n=k（ k≥ 1）時，①式成立，即（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）＞ 12 ?k . 那么，當 n=k+1 時，（ 1+1）（ 1+31 ）?（ 1+ 121?k ）［ 1+1)1(2 1 ??k］＞ 12 ?k 題型 7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例 13．（ 1）（ 20xx 上海春， 16）設(shè)｛ an｝（ n∈ N*）是等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，則下列結(jié)論 錯誤 ． ． 的是（ ） ＜ 0 B. a7＝ 0 ＞ S5 與 S7 均為 Sn 的最大值 （ 2）（ 1994 全國理， 12）等差數(shù)列 {an}的前 m 項和為 30，前 2m 項和為 100，則它的前 3m 項和為（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+? +a5a1+a2+? +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+? +a6=a1+a2+? +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 選項 S9S5，即 a6+a7+a8+a90? 2（ a7+a8） 0， 由題設(shè) a7=0， a80，顯然 C 選項是錯誤的。 ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 項之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，則 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，從而 d=a2－ a1=40。 （Ⅰ）求點 Pn 的縱坐標 bn 的表達式； （Ⅱ）若對每個自然數(shù) n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形，求 a 的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè) Bn＝ b1， b2? bn（ n∈ N） .若 a ?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛ Bn｝的最大項的項數(shù)。 數(shù)列｛ bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列 .對每個自然數(shù) n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 于是 ＝ lg［ 20xx（ 107 ） 21?n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 數(shù)列｛ ｝是一個遞減的等差數(shù)列 . 因此，當且僅當 ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 時，數(shù)列｛ ｝的前 n 項的和最大。 （ 2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察第 14 頁 共 26 頁 數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛ an｝中，前 n 項和 Sn 與通項公式 an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握之。還可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 來判斷。 n－ na1＋2 )1( ?nnd，可以整理成 Sn＝2dn2＋ nda )2( 1?。 6．（ 1） 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最大值； 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函數(shù)最值的求法（ nN?? ）； ② 若已知 na ，則 nS 最值時 n 的值（ nN?? ）可如下確定100nnaa???? ??或100nnaa???? ??。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。（勾股定理） （ 2）銳角之間的關(guān)系： A＋ B＝ 90176。 （ 2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 。 3．三角形的 面積公式： 第 16 頁 共 26 頁 （ 1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ ha、 hb、 hc分別表示 a、 b、 c 上的高） ； （ 2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； （ 3）△＝)sin(2 sinsin2CB CBa ?＝)sin(2 sinsin2AC ACb ?＝)sin(2 sinsin2BA BAc ?； （ 4）△＝ 2R2sinAsinBsinC。 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ ABC 的三邊為 a、 b、 c，對應(yīng)的三個角為 A、 B、 C。2s i n2c os,2c os2s i n CBACBA ????； （ 2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 四．典例解析 題型 1：正、余弦定理 例 1．（ 1） 在 ?ABC 中，已知 ?A ， ?B ， ?a cm，解三角形； （ 2） 在 ?ABC 中，已知 20?a cm， 28?b cm， 040?A ，解三角形（角度精確到 01 ，邊長精確到 1cm）。 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 ① － ② 得 cos A ? ?2 64 。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個內(nèi)角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。 A+C=120176。 A180176。時， B=60176。時， B=60176。 解析：（ 1）答案 ： D 解析：在 ABC? 中，由正弦定理得： ,233sin ?BAC 化簡得 AC= ,sin32 B 233)3(s in [ ??? ?? BAB ，化簡得 AB= )32sin(32 B?? ， 所以三角形的周長為： 3+AC+AB=3+ Bsin32 + )32sin(32 B?? =3+ .3)6s i n(6c os3s i n33 ???? ?BBB 。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。 題型 4：三角形中求值問題 例 7． ABC? 的三個內(nèi)角為 A B C、 、 ，求當 A 為何值時， cos 2 cos2BCA ??取得最大值，并求出這個最大值。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內(nèi)角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 題型 5：三角形中的三角恒等變換問題 第 23 頁 共 26 頁 例 9．在△ ABC 中， a、 b、 c 分別是∠ A、∠ B、∠ C 的對邊長，已知 a、 b、 c 成等比數(shù)列，且 a2－ c2=ac－ bc，求∠ A 的大小及cBbsin的值。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 =23。 ∴cBbsin=sinA=23。所以 A＋ C＝ 120176。 點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時 結(jié)合三角變換公式的逆用。 點評：解決此類問題時要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題，同時注意實施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式。 ∴∠ ACB=41176。 例 14．（ 06 江西理， 19） 如圖，已知△ ABC 是邊長為 1 的正三角形， M、 N 分別是 邊 AB、 AC 上的點，線段 MN 經(jīng)過△ ABC 的中心 G，設(shè) ?MGA＝ ?（ 233?????） （ 1）試將△ AGM、△ AGN 的面積（分別記為 S1 與S2）； （ 2）表示為 ?的 函數(shù)，求 y＝221211SS＋的最大值與最小值。 點評： 三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范