【正文】 a n(n=1,2,3,? )， 所以數(shù)列 {a n}是等差數(shù)列。 ?2 充分性：設(shè)數(shù)列 }{nc 是公差為 2d 的等差數(shù)列，且 1?? nn bb （ n=1,2,3,… ）， ∵ 21 32 ?? ??? nnnn aaac …… ① ∴ 4322 32 ???? ??? nnnn aaac …… ② ① － ② 得： )( 22 ?? ??? nnnn aacc )(2 31 ??? nn aa )(3 42 ?? ?? nn aa = 21 32 ?? ?? nnn bbb ∵ ???? ?? )( 12 nnnn cccc 221 2)( dcc nn ??? ?? ∴ 21 32 ?? ?? nnn bbb 2d?? …… ③ 從而有 321 32 ??? ?? nnn bbb 22d?? …… ④ ④ － ③ 得： 0)(3)(2)( 23121 ?????? ????? nnnnnn bbbbbb …… ⑤ ∵ 0)( 1 ??? nn bb ， 012 ?? ?? nn bb ， 023 ?? ?? nn bb ， ∴ 由 ⑤ 得： 01 ??? nn bb （ n=1,2,3,… ）， 由此，不妨設(shè) 3dbn? （ n=1,2,3,… ），則 2?? nn aa 3d? （常數(shù)） 故 3121 32432 daaaaac nnnnnn ?????? ??? …… ⑥ 從而 3211 324 daac nnn ??? ??? 31 524 daa nn ??? ? …… ⑦ ⑦ － ⑥ 得： 311 2)(2 daacc nnnn ???? ?? ， 故311 )(21 dccaa nnnn ???? ?? 3221 dd ??（常數(shù)）（ n=1,2,3,… ）， ∴ 數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 答案： 140 85 解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列 .舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了 3 毫米、 2 毫米，?照此規(guī)律， 60 歲時的收縮壓和舒張壓分別為 140； 85. 點評：本題以實際問題為背 景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力 .它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)學(xué)思維活動。 題型 3：數(shù)列的應(yīng)用 例 5．（ 05 廣東， 14）設(shè)平面內(nèi)有 n 條直線 )3( ?n ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用 )(nf 表示這 n 條直線交點的個數(shù)，則)4(f =____________；當(dāng) 4?n 時， ?)(nf （用 n 表示）。 點評：從起始項入手，逐步展開解題思維 。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n??? ? ? ? ? ?, 222 2 2 4 4nnb a n n n? ? ? ? ?。 點評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬。 四．典例解析 題型 1：數(shù)列概念 例 1． 根據(jù)數(shù)列前 4 項，寫出它的通項公式： （ 1） 1， 3， 5， 7??； （ 2） 2212? ， 2313? ， 2414? ， 2515? ； （ 3） 11*2?， 12*3， 13*4?， 14*5。 （ 2） 等差數(shù)列的通項公式： 1 ( 1)na a n d? ? ? ； 說明：等差數(shù)列（通常可稱為 A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0? 為遞增數(shù)列， 0d? 為常數(shù)列， 0d? 為遞減數(shù)列。 （ 4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 說明：① ??na 表示數(shù)列， na 表示數(shù)列中的第 n 項， na = ??fn表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。 三．要點精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的 項。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一 至二個客觀性題目和一個解答題。記作 na ，在數(shù)列第一個位置的項叫第 1 項（或首項），在第二個位置的叫第 2 項，??，序號為 n 的項叫第 n 項（也叫通項）記作 na ； 數(shù)列的一般形式： 1a ， 2a ， 3a ，??， na ，??，簡記作 ??na 。例如， na = (1)n? = 1, 2 1 ()1, 2nk kZnk? ? ?? ?????； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。 （ 5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列 ??na 的第 1 項（或前幾項），且任一項 na 與它的前一項 1na? （或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 （ 3） 等差中項的概念： 定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。 解析：（ 1） na =2 1n? ； （ 2） na = 2( 1) 11n n??? ； （ 3） na = ( 1)( 1)nnn??。 題型 2：數(shù)列的遞推公式 例 3． 如圖 ,一粒子在區(qū)域? ?( , ) | 0, 0x y x y??上運動 ,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點 1(0,1)B ,接著按圖中箭頭所示方向在x 軸、 y 軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度 。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n? ? ? ? ? ?, 即 2nc n n??。 由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在 。 答案： 5， )2)(1(21 ?? nn 解析：由圖 B 可得 5)4( ?f ， 由 2)3( ?f ， 5)4( ?f ， 9)5( ?f ， 14)6( ?f ， 圖 B 第 5 頁 共 26 頁 可推得∵ n 每增加 1，則交點增加 )1( ?n 個， ∴ )1(432)( ?????? nnf ?2 )2)(12( ???? nn )2)(1(21 ??? nn。 題型 4：等差數(shù)列的概念 例 7．（ 20xx 天津理， 2）設(shè) Sn 是數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 Sn=n2，則 {an}是（ ） ，但不是等差數(shù)列 ，但不是等比數(shù)列 ，而且也是等比數(shù)列 答案： B； 解法一： an=??? ?? ?????? ?? ?? )2( 12)1( 1)2( )1( 11 nn nanSS nS nnn ∴ an=2n－ 1（ n∈ N） 又 an+1－ an=2 為常數(shù)，12 121 ???? nnaa nn≠常數(shù) ∴ {an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 . 解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于 n 的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。 綜上所述： }{na 為等差數(shù)列的充分必要條件是 }{nc 為等差數(shù)列且 1?? nn bb（ n=1,2,3,… ）。 點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。 例 10．（ 1）（ 20xx 湖南 16）已知數(shù)列 ))}1({ lo g *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且.9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項公式； （Ⅱ）證明 .111112312 ??????? ? nn aaaaaa ? 解析：（ 1）（ I） 解：設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d。 a2 （ 2）（ 1998 全國文， 25）已知數(shù)列｛ bn｝是等差數(shù)列， b1=1， b1+b2+? +b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛ bn｝的通項 bn； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛ an｝的通項 an=lg（ 1+nb1 ），記 Sn 是數(shù)列｛ an｝的前 n 項和，試比較Sn 與 21 lgbn+1 的大小，并證明你的結(jié)論。 （ i）當(dāng) n=1 時已驗證①式成立。 評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。 于是 b1=30， b2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40。 例 14．（ 20xx 上海， 21）在 XOY 平面上有一點列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），?，Pn（ an， bn），?，對每個自然數(shù) n，點 Pn 位于函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的圖象上，且點 Pn、點（ n， 0）與點（ n+1， 0）構(gòu)成一個以 Pn 為頂點的等腰三角形。 （Ⅱ）∵函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10）遞減， ∴對每個自然數(shù) n，有 bn＞ bn＋ 1＞ bn＋ 2 則以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是 bn＋ 2＋ bn＋ 1＞ bn， 第 13 頁 共 26 頁 即（ 10a ） 2＋（ 10a － 1）＞ 0， 解得 a＜－ 5（ 1＋ 5 ）或 a＞ 5（ 5 － 1）， ∴ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10． （Ⅲ）（理）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10， ∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。 （文）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10，∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。數(shù)列的圖象是由一群孤立 的點構(gòu)成的。 2．等差數(shù)列的知識要點： （ 1）等差數(shù)列定義 an＋ 1－ an＝ d（常數(shù)）（ n ?N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常數(shù)）就說｛ an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。 （ 4）等差數(shù)列的前 n 項和公式 Sn＝21 naa? 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （ 1）在等差數(shù)列 ??na 中，從第 2 項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （ 2）在等差數(shù)列 ??na 中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是 AP ， 如： 1a ， 3a ， 5a ，7a ，??； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，??； （ 3 ）在等差數(shù)列 ??na 中，對任意 m ， nN?? ， ()nma a n m d? ? ? ，nmaad nm?? ? ()mn? ； （ 4 ）在等差數(shù)列 ??na 中，若 m ， n ， p ， qN?? 且 m n p q? ? ? ，則m n p qa a a a? ? ? ； 5． 說明：設(shè)數(shù)列 {}na 是等差數(shù)列 ，且公差為 d ，（ Ⅰ ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n 項，則 ① S 奇 ? S 偶 nd? ； ② 1nnS aSa??奇偶； （ Ⅱ ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 21n? 項，則 ① S第 15 頁 共 26 頁 偶 ? S 奇 naa??中 ； ②1S nSn? ?奇偶。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。 （ 1）三邊之間的關(guān)系： a2＋ b2＝ c2。 （ 1）三角形內(nèi)角和： A＋ B＋ C＝ π 。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2＝ c2＋ a2－ 2cacosB； c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC。 4． 解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、