【正文】 第 1 頁 共 26 頁 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 高三新 數(shù)學 第一輪復習教案（講座 28） — 數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．課標要求： 1． 數(shù)列的概念和簡單表示法 ； 通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù) ； 2． 通過實例，理解等差數(shù)列的概念 ， 探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和的公式 ； 3． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一 至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前 n 項和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應用，對基本的計算技能要求比較高。 預測 07 年高考： 1．題型既有靈活考察基礎知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 三．要點精講 1．數(shù)列的概念 （ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的 項。記作 na ，在數(shù)列第一個位置的項叫第 1 項（或首項），在第二個位置的叫第 2 項，??，序號為 n 的項叫第 n 項（也叫通項）記作 na ； 數(shù)列的一般形式： 1a ， 2a ， 3a ，??， na ，??，簡記作 ??na 。 （ 2）通項公式的定義：如果數(shù)列 }{na 的第 n 項與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如，數(shù)列 ① 的通項公式是 na = n（ n ? 7， nN?? ），數(shù)列 ② 的通項公式是 na = 1n（ nN?? ）。 說明：① ??na 表示數(shù)列， na 表示數(shù)列中的第 n 項， na = ??fn表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如， na = (1)n? = 1, 2 1 ()1, 2nk kZnk? ? ?? ?????； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如， 1， ， ， ，?? （ 3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號： 1 2 3 4 5 6 項 ： 4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集 N? （或它的有限子集）的函數(shù) ()fn 當?shù)? 2 頁 共 26 頁 自變量 n 從 1 開始依次取值時對應的一系列函數(shù)值 (1), (2), (3),f f f ??，()fn，?? ．通常用 na 來代替 ??fn，其圖象是一群孤立點。 （ 4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 （ 5） 遞推公式定義：如果已知數(shù)列 ??na 的第 1 項（或前幾項），且任一項 na 與它的前一項 1na? （或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （ 1） 等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。用遞推公式表示為 1 ( 2)nna a d n?? ? ?或 1 ( 1)nna a d n? ? ? ?。 （ 2） 等差數(shù)列的通項公式： 1 ( 1)na a n d? ? ? ； 說明：等差數(shù)列（通常可稱為 A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0? 為遞增數(shù)列， 0d? 為常數(shù)列， 0d? 為遞減數(shù)列。 （ 3） 等差中項的概念： 定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項。其中2abA ?? a ， A ， b 成等差數(shù)列 ? 2abA ?? 。 （ 4） 等差數(shù)列的前 n 和的求和公式： 11() ( 1 )22nn n a a nnS n a d? ?? ? ?。 四．典例解析 題型 1：數(shù)列概念 例 1． 根據(jù)數(shù)列前 4 項，寫出它的通項公式： （ 1） 1， 3， 5， 7??； （ 2） 2212? ， 2313? ， 2414? ， 2515? ； （ 3） 11*2?， 12*3， 13*4?， 14*5。 解析：（ 1） na =2 1n? ； （ 2） na = 2( 1) 11n n??? ； （ 3） na = ( 1)( 1)nnn??。 點評： 每一項序號與這一項的對應關(guān)系可看成 是一個序號到另一個數(shù)集的對應關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 例 2． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 第 3 頁 共 26 頁 解析：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????，2na? ? 222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn???， 解方程得 15, 16nn? ? ?或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793為該數(shù)列的第 15 項。 點評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬。 題型 2：數(shù)列的遞推公式 例 3． 如圖 ,一粒子在區(qū)域? ?( , ) | 0, 0x y x y??上運動 ,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點 1(0,1)B ,接著按圖中箭頭所示方向在x 軸、 y 軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度 。 （ 1）設粒子從原點到達點 n n nA B C、 、 時，所經(jīng)過的時間分別為 nnna、 b、 c ，試寫出}nnna{}、 {b }、 {c的通相公式； （ 2）求粒子從原點運動到點 (16,44)P 時所需的時間； （ 3）粒子從原點開始運動，求經(jīng)過 20xx 秒后，它所處的坐標新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/。 解析： (1) 由圖形可設 12(1 , 0) , ( 2 , 0) , , ( , 0)nA A A n，當粒子從 原點到達 nA 時，明顯有 1 3,a? 211,aa?? 3 1 11 2 3 4 ,a a a? ? ? ? ? 431,aa?? 5 3 32 0 5 4 ,a a a? ? ? ? ? 651,aa?? ? ? 2 1 2 3 ( 2 1) 4 ,nna a n??? ? ? ? 2 2 1 1,nnaa??? ∴ 2 1 1 4 [ 3 5 ( 2 1 ) ]na a n? ? ? ? ? ? ?＝ 241n? , 22 2 1 14nna a n?? ? ?。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n??? ? ? ? ? ?, 222 2 2 4 4nnb a n n n? ? ? ? ?。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ?, 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n? ? ? ? ? ?, 即 2nc n n??。 0C 5C 4C 3C 2B 5B 4B 3B 2A 6A 5A 4A 3A 2C 1B 1A 1 xy第 4 頁 共 26 頁 （ 2）有圖形知，粒子從原點運動到點 (16,44)P 時所需的時間是到達點 44C 所經(jīng)過得時間 44c 再加（ 44－ 16）＝ 28 秒， 所以 244 44 28 20xxt ? ? ? ?秒 。 （ 3）由 2nc n n??? 20xx，解得 1 801712n ????，取最大得 n=44， 經(jīng)計算，得 44c ＝ 198020xx，從而粒子從原點開始運動，經(jīng)過 1980 秒后到達點 44C ，再向左運行 24 秒所到達的點的坐標為（ 20， 44） 。 點評：從起始項入手，逐步展開解題思維 。 由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在 。 例 4． （ 1）已知數(shù)列 ??na 適合： 1 1a? ， 1na? 22nnaa? ?，寫出前五項并寫出其通項公式； （ 2）用上面的數(shù)列 ??na ，通過等式 1n n nb a a ??? 構(gòu)造新數(shù)列 ??nb ，寫出 nb ， 并寫出 ??nb 的前 5 項。 解：（ 1） 1 1a? ，2 23a?，3 24a?，4 25a?，5 26a?，??， 21na n? ?； （ 2） 2 2 21 2 ( 1 ) ( 2 )nb n n n n? ? ?? ? ? ?， 1 13b?，2 16b?，3 110b?，4 115b?，5 121b?． 點評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。 題型 3：數(shù)列的應用 例 5．（ 05 廣東， 14）設平面內(nèi)有 n 條直線 )3( ?n ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用 )(nf 表示這 n 條直線交點的個數(shù)，則)4(f =____________；當 4?n 時， ?)(nf （用 n 表示）。 答案： 5， )2)(1(21 ?? nn 解析：由圖 B 可得 5)4( ?f ， 由 2)3( ?f ， 5)4( ?f ， 9)5( ?f ， 14)6( ?f ， 圖 B 第 5 頁 共 26 頁 可推得∵ n 每增加 1，則交點增加 )1( ?n 個， ∴ )1(432)( ?????? nnf ?2 )2)(12( ???? nn )2)(1(21 ??? nn。 點 評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。 例 6． （ 20xx 京春理 14，文 15）在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 .觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中空白（ _____）內(nèi)。 答案： 140 85 解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列 .舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了 3 毫米、 2 毫米，?照此規(guī)律， 60 歲時的收縮壓和舒張壓分別為 140； 85. 點評：本題以實際問題為背 景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力 .它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學意識，有效地把數(shù)學過程實施為數(shù)學思維活動。 題型 4：等差數(shù)列的概念 例 7．（ 20xx 天津理， 2）設 Sn 是數(shù)列 {an}的前 n 項和，且 Sn=n2，則 {an}是（ ） ，但不是等差數(shù)列 ，但不是等比數(shù)列 ，而且也是等比數(shù)列 答案： B； 解法一： an=??? ?? ?????? ?? ?? )2( 12)1( 1)