專題四-圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問題-wenkub
2022-08-21 20:02:03 本頁面
【正文】 0＝ 2 時(shí)， f ( x0) 取最大值為 12. ∴1PF12. 當(dāng) k ＝ 177。 ON ＝ － 23 ，求直線 m 的方程． 解： (1) 依題意， l 方程xa＋y－ b＝ 1 ，即 bx － ay － ab ＝ 0. 由原點(diǎn) O 到 l 的距離為32，得aba2＋ b2＝abc＝32. 又 e ＝ca＝2 33， ∴ b ＝ 1 ， a ＝ 3 . 故所求雙曲線方程為x23－ y2＝ 1. (2) 顯然直線 m 不與 x 軸垂直，設(shè) m 方程為 y ＝ kx － 1 ， 則點(diǎn) M ， N 坐標(biāo) ( x1， y1) ， ( x2， y2) 是方程組????? y ＝ kx － 1x23－ y2＝ 1的解． 消去 y ，得 (1 － 3 k2) x2＋ 6 kx － 6 ＝ 0. ① 依設(shè)， 1 － 3 k2≠ 0 ，由根與系數(shù)關(guān)系，得 x1＋ x2＝6 k3 k2－ 1， x1x2＝63 k2－ 1. OM ON ＝ ( x 1 ， y 1 ) 12時(shí)，方程 ① 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． 直線 m 方程為 y ＝12x － 1 或 y ＝－12x － 1. 題型二 圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 例 2 ： 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的左右焦點(diǎn)分別為 F 1 ， F 2 ，左頂 點(diǎn)為 A ，若 | F1F2|＝ 2 ，橢圓的離心率為 e ＝12. (1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若 P 是橢圓上的任意一點(diǎn)，求1PF PA 的取值范圍是 [ 0,12] ． (3) 由????? y ＝ kx ＋ m ，x24＋y23＝ 1 ， 消去 y 得： (3 ＋ 4 k2) x2＋ 8 kmx ＋ 4 m2－ 12 ＝ 0. 由 Δ 0 得 4 k2＋ 3 m2. 設(shè) M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ， 則 x1＋ x2＝－ 8 km3 ＋ 4 k2 x1x2＝4 m2－ 123 ＋ 4 k2. ∵ AM AH ＋ HM NH 得到 k 與 m 的關(guān)系式 4 k2－ 16 km ＋ 7 m2＝ 0 ，消掉一個(gè)字母即可求解． 【 互動(dòng)探究 】 2． (2022年廣東湛江調(diào)研 )已知圓 C： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 12＝ 0， 點(diǎn) A(3,5)， B(1,0)， 求： (1)過點(diǎn) A的圓 C的切線方程； (2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) ， 連接 OA， OC， 求 △ AOC的面積 S； (3)設(shè)動(dòng)圓 M過點(diǎn) B(1,0)， 且圓心 M在拋物線 C： y2＝ 2x上 ，EF是圓 M在 y軸上截得的弦 ， 當(dāng) M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長 |EF|是否為定值 ？請(qǐng)說明理由 ． 解： (1) 圓 C ： ( x － 2)2＋ ( y － 3)2＝ 1. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，對(duì)直線 x ＝ 3 ， C (2,3) 到直線的距離為1 ，滿足條件． 當(dāng) k 存在時(shí)，設(shè)直線 y － 5 ＝ k ( x － 3) ，即 y ＝ kx ＋ 5 － 3 k . 則圓 C 到直線的距離為：|－ k ＋ 2|k2＋ 1＝ 1 ，解得 k ＝34. ∴ 切線方程為 x ＝ 3 或 y ＝34x ＋114. (2) ∵ | A O |＝ 9 ＋ 25 ＝ 34 ， 又 ∵ 直線 OA 的方程為： 5 x － 3 y ＝ 0 ， ∴ 圓心 C 到直線 OA 的距離 d ＝134. ∴ S ＝12| AO |3 時(shí)， | AB |＝ 3 ， 所以 | AB |＝4 3 | m |m2＋ 3， m ∈ ( － ∞ ，－ 1] ∪ [1 ，＋ ∞ ) ． 因?yàn)?| AB |＝4 3 | m |m2＋ 3＝4 3| m |＋3| m |≤ 2 ， 且當(dāng) m ＝ 177。 3 ， 0) 為焦點(diǎn)，長軸長為 4 的橢圓． ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 3 . ∴ b ＝ a2－ c2＝ 1. ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程為x24＋ y2＝ 1. (2) 由 (1) 知，軌跡 C 是橢圓x24＋ y2＝ 1 ，點(diǎn) B (0,1) 是它的上頂點(diǎn) ， 設(shè)滿足條件的直線 l1， l2存在， 令直線 l1的方程為 y ＝ kx ＋ 1( k 0) ， ① 則直線 l2的方程為 y ＝－1kx ＋ 1. ② 將 ① 代入橢圓方程并整理得： (1 ＋ 4 k2) x2
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