專題四-圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問題-預(yù)覽頁
【正文】 . 消去 y 并整理，得 (1 ＋ 9 k2) x2－ 18 k2x ＋ 9 k2－ 9 ＝ 0. ∴ x3＋ x4＝18 k21 ＋ 9 k2， ① x3x4＝9 k2－ 91 ＋ 9 k2. ② ∵ RM ＝ λMQ， ∴ ( x3， y3) － (0 ， y5) ＝ λ [ (1,0) － ( x3， y3)] ． 即????? x3＝ λ ? 1 － x3? ，y3－ y5＝－ λy3.∴ x3＝ λ (1 － x3) ． ∵ l 與 x 軸不垂直， ∴ x3≠ 1. ∴ λ ＝x31 － x3. 同理 μ ＝x41 － x4. ∴ λ ＋ μ ＝x31 － x3＋x41 － x4＝? x3＋ x4? － 2 x3x41 － ? x3＋ x4? ＋ x3x4. 將 ①② 代入上式可得 λ ＋ μ ＝－94. 通俗地說，向量既是代數(shù)的，也是幾何的，因此， 它理所當然地成為構(gòu)架數(shù)與形的天然橋梁．向量具有幾何和代數(shù) 的 “ 雙重身份”，平面向量可以用坐標表示，因此以坐標為橋梁， 使向量的有關(guān)運算與解析幾何的坐標運算聯(lián)系起來，可以用向 量 及有關(guān)的運算工具研究解決幾何問題，為解析幾何試題的命題開 拓了新的思路，為實現(xiàn)在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題提供了良好 的素材，此類試題已成為近幾年數(shù)學高考的熱點．當然對于向量 內(nèi)容的考查，仍然側(cè)重于向量的基本運算和基本定理的應(yīng)用．因 此，要求學生在熟練掌握基礎(chǔ)知識及基本運算的基礎(chǔ)上，做到 “ 點 到為止 ” ，不適宜于在向量內(nèi)容方面進行過度加深． 【 互動探究 】 1 ．已知曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0) 的離心率 e ＝2 33，直線 l過 A ( a, 0) ， B (0 ，－ b ) 兩點，原點 O 到 l 的距離是32. (1) 求雙曲線的方程； (2) 過點 B 作直線 m 交雙曲線于 M ， N 兩點，若 OM ( x 2 ， y 2 ) ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ x1x2＋ ( kx1－ 1)( kx2－ 1) ＝ (1 ＋ k2) x1x2－ k ( x1＋ x2) ＋ 1 ＝6 ? 1 ＋ k2?3 k2－ 1－6 k23 k2－ 1＋ 1 ＝63 k2－ 1＋ 1. ∵ OM PA 的取值范圍； (3) 已知直線 l ： y ＝ kx ＋ m 與橢圓相交于不同的兩點 M ， N ( 均不是長軸的端點 ) ， AH ⊥ MN ，垂足為 H 且 2AH ＝ MH AN ＝ ( AH ＋ HM ) HN ＝ 0 ， ∴ ( x1＋ 2 )( x2＋ 2) ＋ y1y2＝ 0. 即 (1 ＋ k2) x1x2＋ (2 ＋ km )( x1＋ x2) ＋ 4 ＋ m2＝ 0. ∴ 4 k2－ 16 km ＋ 7 m2＝ 0. ∴ k ＝12m 或 k ＝72m 均適合． 當 k ＝12m 時，直線過 A ，舍去．故 k ＝72m . 當 k ＝72m 時，直線 y ＝ kx ＋27k 過定 點??????－27， 0 . 【 思維點撥 】 關(guān)于定點與定值問題，一般來說從兩個方面來 解決： (1)從特殊入手，求出定點或定值，再證明這個點或值與變 量無關(guān)； (2)直接推理、計算，并在計算的過程中消去變量，從而 得到定點或 定值． ①1PF d ＝12. (3)設(shè)圓心 M(a， b)， 因為圓 M過 B(1,0)． 故設(shè)圓的方程 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ (a－ 1)2＋ b2. 令 x＝ 0得： y2－ 2by＋ 2a－ 1＝ 0. 設(shè)圓與 y軸的兩交點為 (0， y1)， (0， y2)， 則 y1＋ y2＝ 2b， y1 3 時， | AB |＝ 2 ，所以 | AB |的最大值為 2. 圓錐曲線中的最值問題，通常有兩類：一類是有關(guān) 長度、面積等的最值問題；另一類是圓錐曲線中有關(guān)幾何元素的 最值問題．解決有關(guān)最值問題時，首先要恰當?shù)匾胱兞?(如點的 坐標、角、斜率等 )，通過回歸定義，結(jié)合幾何知識，建立目標函 數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式等知識以及觀圖、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替 換等途徑來解決．本題由 l 與圓 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相切，得| km |k 2 ＋ 1＝ 1 ，即 m 2 k 2 ＝ k 2 ＋ 1. 代入弦長 | AB |＝ 1 ＋ k 2 1
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