專題四-圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問(wèn)題(存儲(chǔ)版)
【正文】 － 91 ＋ 9 k2. ② ∵ RM ＝ λMQ， ∴ ( x3， y3) － (0 ， y5) ＝ λ [ (1,0) － ( x3， y3)] ． 即????? x3＝ λ ? 1 － x3? ，y3－ y5＝－ λy3.∴ x3＝ λ (1 － x3) ． ∵ l 與 x 軸不垂直， ∴ x3≠ 1. ∴ λ ＝x31 － x3. 同理 μ ＝x41 － x4. ∴ λ ＋ μ ＝x31 － x3＋x41 － x4＝? x3＋ x4? － 2 x3x41 － ? x3＋ x4? ＋ x3x4. 將 ①② 代入上式可得 λ ＋ μ ＝－94. 通俗地說(shuō)，向量既是代數(shù)的，也是幾何的，因此， 它理所當(dāng)然地成為構(gòu)架數(shù)與形的天然橋梁．向量具有幾何和代數(shù) 的 “ 雙重身份”，平面向量可以用坐標(biāo)表示，因此以坐標(biāo)為橋梁， 使向量的有關(guān)運(yùn)算與解析幾何的坐標(biāo)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，可以用向 量 及有關(guān)的運(yùn)算工具研究解決幾何問(wèn)題，為解析幾何試題的命題開 拓了新的思路，為實(shí)現(xiàn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題提供了良好 的素材，此類試題已成為近幾年數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)．當(dāng)然對(duì)于向量 內(nèi)容的考查，仍然側(cè)重于向量的基本運(yùn)算和基本定理的應(yīng)用．因 此，要求學(xué)生在熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，做到 “ 點(diǎn) 到為止 ” ，不適宜于在向量?jī)?nèi)容方面進(jìn)行過(guò)度加深． 【 互動(dòng)探究 】 1 ．已知曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0) 的離心率 e ＝2 33，直線 l過(guò) A ( a, 0) ， B (0 ，－ b ) 兩點(diǎn)，原點(diǎn) O 到 l 的距離是32. (1) 求雙曲線的方程； (2) 過(guò)點(diǎn) B 作直線 m 交雙曲線于 M ， N 兩點(diǎn)，若 OM HN ，求證：直線 l 恒過(guò)定點(diǎn)． 解析： (1) 由已知 c ＝ 1 ， a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， ∴x24＋y23＝ 1. (2) 設(shè) P ( x0， y0) ，又 A ( － 2,0) ， F1( － 1,0) ． ∴1PF PA ＝ ( － 1 － x 0 )( － 2 － x 0 ) ＋ y20 ＝14x20 ＋ 3 x 0 ＋ 5 ， f ( x 0 ) ＝14x20 ＋3 x 0 ＋ 5 中－ 2 ≤ x 0 ≤ 2 ，其圖象是拋物線的一部分，利用 x 0 的范圍求1PF| x 1 － x 2 |消去一個(gè)參數(shù)后利用基本不等式求解． 【 互動(dòng)探究 】 3 ．已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的離心率為63，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 . (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l的距離為32，求 △ AOB 面積的最大值． 解： (1) 設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意????? ca＝63，a ＝ 3 ，∴ b ＝ 1. ∴ 所求橢圓方程為x23＋ y2＝ 1. (2) 設(shè) A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ． ① 當(dāng) AB ⊥ x 軸時(shí)， | AB |＝ 3 . ② 當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) 直線 AB 的方程為 y ＝ kx ＋ m . 由已知| m |1 ＋ k2＝32，得 m2＝34( k2＋ 1) ． 把 y ＝ kx ＋ m 代入橢圓方程， 整理得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6 km x ＋ 3 m2－ 3 ＝ 0. ∴ x1＋ x2＝－6 km3 k2＋ 1， x1x2＝3 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1. ∴ | AB |2＝ (1 ＋ k2)( x2－ x1)2 ＝ (1 ＋ k2)????????36 k2m2? 3 k2＋ 1 ?2－12 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1 ＝12 ? k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 － m2?? 3 k2＋ 1 ?2＝3 ? k2＋ 1 ?? 9 k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 ?2 ＝ 3 ＋12 k29 k4＋ 6 k2＋ 1＝ 3 ＋129 k2＋1k2 ＋ 6( k ≠ 0) ≤ 3 ＋122 3 ＋ 6＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) 9
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