直線圓錐曲線及向量的綜合問題-文庫吧在線文庫
【正文】 2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.3 [2012|x2－x1|＝，|AM|＝，|MN|＝＝，|NA|＝＝，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上．5 [2012（2）由（1）知直線AB過定點C，又由及＝（）知OM^AB，垂足為M，所以點M的軌跡為以OC為直徑的圓，除去坐標原點。（Ⅰ）證明: 橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，．（Ⅱ）（?。┊?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．設，則：，；因為AC與BC相交于點P，且AC的斜率為．所以，．四邊形ABCD的面積．當k2=1時，上式取等號．（ⅱ）當BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積S=4．綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．例8已知函數(shù)與的圖象相交于，分別是的圖象在兩點的切線，分別是，與軸的交點．（I）求的取值范圍；（II）設為點的橫坐標，當時，寫出以為自變量的函數(shù)式，并求其定義域和值域；（III）試比較與的大小，并說明理由（是坐標原點）．解：（I）由方程消得． ①依題意，該方程有兩個正實根，故 解得．（II）由，求得切線的方程為，由，并令，得，是方程①的兩實根，且，、故，是關于的減函數(shù)，所以的取值范圍是．是關于的增函數(shù)，定義域為，所以值域為，（III）當時，由（II）可知．類似可得．．由①可知．從而．當時，有相同的結(jié)果．所以．★★★自我提升平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A（3，1），B（1，3），若點C滿足，其中a,b206。8．[2012＝－2y－4y0＋9＝－2(y0＋1)2＋11.因為y0∈[－，]，所以當y0＝－1時，((－)＝(－－)＝0，則|＋|＝( )A．2 B. C．4 D．25．D [解析] 根據(jù)已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.例5橢圓的兩個焦點FF2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線l過圓x2+y2+4x2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程。＝－－3＋＋3＝0，故恒有⊥，即存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.突破重難點例1．過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（ D ）A． B．C． D． 例2． 已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．(1)求橢圓C2的方程；(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．解：(1)由已知可設橢圓C2的方程為＋＝1(a2)，其離心率為，故＝，則a＝4，故橢圓C2的方程為＋＝1.(2)解法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx.將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝177。＝b＝b2.由題設條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：＋＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為：x＝my－(m2＋5)y2－4my－16＝0.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方
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