【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) （ A） （ B） （ C） （ D） 1322或1 22或2 23或2332或【解析】 選 |F1F2|＝ 2c(c0)， 由已知 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|＝ 4∶ 3∶ 2， 得 且 |PF1||PF2|， 若圓錐曲線 C為橢圓，則 2a＝ |PF1|＋ |PF2|＝ 4c， 離心率 若圓錐曲線 C為雙曲線， 則 離心率 1284P F c P F c33＝ ， ＝ ，c1ea2＝ ＝ ；1242 a PF PF c3?＝ ＝ ，c3e .a2＝ ＝【歸納】 解答本題的注意點(diǎn) . 提示： 解答本題對(duì)已知條件利用時(shí)，要分類討論，同時(shí)注意對(duì)橢圓及雙曲線定義的理解 . 例 2 ： 已知橢圓x23 m2 ＋y25 n2 ＝ 1 和雙曲線x22 m2 －y23 n2 ＝ 1 有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是 ( ) A ． x ＝ 177。152y B ． y ＝ 177。152x C ． x ＝ 177。34y D ． y ＝ 177。34x 解析 由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 橢圓焦點(diǎn) ( 3 m2－ 5 n2， 0) ，雙曲線焦點(diǎn) ( 2 m2＋ 3 n2， 0) ， ∴ 3 m2－ 5 n2＝ 2 m2＋ 3 n2， ∴ m2＝ 8 n2， 又 ∵ 雙曲線漸近線為 y ＝ 177。6 | n |2| m | x ， ∴ 代入 m2＝ 8 n2， | m |＝ 2 2 | n |，得 y ＝ 177。34x . 答案 D 直線與圓錐曲線 【技法點(diǎn)撥】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解 的討論，即聯(lián)立方程組 通過消去 y(也可以消去 x)得到 x的方程 的形式 0( , ) 0A x B y Cf x y? ? ??? ??2 0ax bx c? ? ?并對(duì)方程進(jìn)行討論 。 這時(shí)要注意考慮 a＝ 0和 a≠0兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除 a≠0， Δ＝ 0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn) (此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況 ). (1)通過方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解； (2)點(diǎn)差法，設(shè)出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解； (3)中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，先設(shè)出一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助中點(diǎn)設(shè)出另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，而后消去二次項(xiàng) . 利用弦長(zhǎng)公式求解： 直線 l:y=kx+b與圓錐曲線交于 A（ x1,y1）、 B（ x2,y2），則弦長(zhǎng)為 222 1 2 1221221 2 1 2122( ) ( )1( 1 ) [ ( ) 4 ]11A B x x y yk x xk x x x xyyk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?(1)當(dāng)斜率 k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用兩點(diǎn)間距離公式求解 . (2)利用圓錐曲線的定義求解：求經(jīng)過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度，應(yīng)用圓錐曲線的定義，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)焦半徑之和求解 . 例 1： 過點(diǎn) (0,2)與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 ( ) （ A） 1條 (B)2條 (C)3條 (D)無數(shù)多條 xy 82 ? C . P 題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 22( 0 , 3 ) 143.xyP L L ??(1) 經(jīng) 過 點(diǎn) 作 直 線 ， 若 與 雙 曲 線只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) 問 這 樣 的 直例 2 ：線 有 幾 條 ？221488,xylA B A B l???(2) 過 雙 曲 線 的 右 焦 點(diǎn) 作 一 直 線 交 雙 曲 線于 ， 兩 點(diǎn) ， 若 則 這 樣 的 直 線 有 幾 條 ？2226,.y k x x yk? ? ? ?(3) 直 線 與 雙 曲 線 的 右 支 交 于兩 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) 求 實(shí) 數(shù) 的 取 值 范 圍題型 一： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例 3 ： 已知橢圓 4 x2＋ y2＝ 1 及直線 y ＝ x ＋ m . (1) 當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2) 求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度． [ 分析 ] (1) 直線與橢圓位置關(guān)系利用方程組解的情況來判斷，從方程角度看，當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，一元二次方程根的判別式 Δ ≥ 0 ； (2) 可以結(jié)合 (1) 的結(jié)論，利用弦長(zhǎng)公式求解． 解 ： 由方程組????? 4 x2＋ y2＝ 1y ＝ x ＋ m，消去 y ，整理得 5 x2＋ 2 mx ＋ m2－ 1 ＝ 0. ( 1) ∵ 直線與橢圓有公共點(diǎn)， ∴ Δ ＝ 4 m2－ 20 ( m2－ 1) ＝ 20 － 16 m2≥ 0 ， 解之得：－52≤ m ≤52. ( 2) 由根與系數(shù)關(guān)系得 x1＋ x2＝－2 m5， x1 x2＝m2－ 15， 則弦長(zhǎng) l ＝ 1 ＋ k2| x1－ x2| ＝ ? 1 ＋ k2? [ ? x1＋ x2?2－ 4 x2 x1] ＝ 2[4 m225－4 ? m2－ 1 ?5] ＝2510 － 8 m2. 當(dāng) m ＝ 0 時(shí)， l 取得最大值為2 105. 例 4 ： 已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0) 的離心率為63，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 . (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為32，求 △ AOB 面積的最大值． 解 ： ( 1) 設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意有????? ca＝63，a ＝ 3 ， ∴ b ＝ 1. ∴ 所求橢圓方程為x23＋ y2＝ 1. ( 2 ) 設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ． ① 當(dāng) AB ⊥ x 軸時(shí)， | AB |＝ 3 . ② 當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y ＝ kx ＋ m . 由已知| m |1 ＋ k2＝32，得 m2＝34( k2＋ 1) ． 把 y ＝ kx ＋ m 代入橢圓方程， 整理得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6 km x ＋ 3 m2－ 3 ＝ 0 ， ∴ x1＋ x2＝－ 6 km3 k2＋ 1， x1x2＝3 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1. ∴ | AB |2＝ (1 ＋ k2)( x2－ x1)2 ＝ (1 ＋ k2)????????36 k2m2? 3 k2＋ 1 ?2－12 ? m2－ 1 ?3 k2＋ 1 ＝12 ? k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 － m2?? 3 k2＋ 1 ?2＝3 ? k2＋ 1 ?? 9 k2＋ 1 ?? 3 k2＋ 1 ?2 ＝ 3 ＋12 k29 k4＋ 6 k2＋ 1＝ 3 ＋129 k2＋1k2 ＋ 6 ( k ≠ 0) ≤ 3 ＋122 3 ＋ 6＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) 9 k2＝1k2 ，即 k ＝ 177。33時(shí)等號(hào)成立． 此時(shí) Δ ＝ 12 ( 3 k2＋ 1 － m2) 0 ，當(dāng) k ＝ 0 或不存在時(shí)， | AB |＝ 3 ， 綜上所述， | AB |m a x＝ 2. ∴ 當(dāng) | AB |最大時(shí)， △ A O B 面積取得最大值 S ＝12 | AB |m a x32＝32. 小結(jié) 解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法： ( 1) 函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解． ( 2) 不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍． 變式題： 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O的橢圓 C經(jīng)過點(diǎn) A(2,3),且點(diǎn) F(2,0)為其右焦點(diǎn) . （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2）是否存在平行于 OA的直線 l，使得直線 l與橢圓 C有公共點(diǎn)，且直線OA與 l的距離等于 4？若存在，求出直線 l的方程；若不存在，說明理由 . 【解析】 （ 1）依題意，可設(shè)橢圓 C的方程為 且可知左焦點(diǎn)為 F′（ 2,0） . 從而有 解得 又 a2=b2+c2,所以 b2=12,故橢圓 C的方程為 2222xy 1 a b 0 ,ab?? （ ＞ ＞ ）c22 a A F A F 3 5 8 ,???? ? ? ? ? ?? ｜ ｜ ｜ ｜c(diǎn) 2,a 4,?????22xy 1.1 6 1 2??（ 2）不存在 .假設(shè)存在符合題意的直線 l，其方程為 由 得 3x2+3tx+t212=0, 因?yàn)橹本€ l與橢圓 C有公共點(diǎn)， 所以 Δ=（ 3t） 24 3（ t212） ≥0,解得 3y x t.2??223y x t ,2xy1,16 12? ?????? ????4 3 t 4 3 .? ? ?另一方面，由直線 OA與 l的距離 d=4可得 從而 由于 所以符合題意的直線 l不存在 . t 4,9 14??｜ ｜t 2 13,??2 1 3 4 3 , 4 3? ? ?［ ］ ，【歸納】 本題考查了哪幾種能力？解題中容易忽視的地方是什么？ 提示： 本題主要考查了運(yùn)算求解能力、推理論證能力，解題中容易忽略Δ≥0, 而導(dǎo)致出錯(cuò) . 例 2 斜率為 2 的直線 l 經(jīng)過拋物線 y 2 ＝ 8 x 的焦點(diǎn) F ，且與拋物線相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，求線段 AB 的長(zhǎng)． [ 思路 ] 方法一：直接求兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)；方法二：設(shè)而不求，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)；方法三：設(shè)而不求，數(shù)形結(jié)合，活用定義，運(yùn)用韋達(dá)定理，計(jì)算弦長(zhǎng)． [ 解答 ] 拋物線 y2＝ 8 x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F ( 2,0 ) ． 方法一：設(shè) l 方程為 y ＝ 2( x － 2) ，即 y ＝ 2 x － 4 ， 代入拋物線方程，得 (2 x － 4)2＝ 8 x ， 即 x2－ 6 x ＋ 4 ＝ 0 ，解得 x1＝ 3 － 5 ， x2＝ 3 ＋ 5 ， ∴ 對(duì)應(yīng)的 y1＝ 2 － 2 5 ， y2＝ 2 ＋ 2 5 ， 即得 A 、 B 的坐標(biāo)分別為 (3 － 5 ， 2 － 2 5 ) ， (3 ＋ 5 ， 2 ＋ 2 5 ) ． 由兩點(diǎn)間距離公式，即可得到 | AB |＝ 10. 方法二：設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 x x2是方程 x2－6 x ＋ 4 ＝ 0 的兩個(gè)根， 于是 x1＋ x2＝ 6 ， x1x2＝ 4. 由 y ＝ 2 x － 4 得 y1